נקודה (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה, נקודה היא מושג יסודי, ולכן אינו מוגדר. הנקודה מאופיינת באמצעות האקסיומות העוסקות בה. בצורה פחות פורמלית, נקודה מציינת מקום במרחב. לנקודה אין ממד - היא חסרת אורך, רוחב וגובה.

אקסיומות הגאומטריה האוקלידית העוסקות בנקודה:

  • יש לפחות שתי נקודות שונות זו מזו.
  • לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
  • כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
  • לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מישור אחד ויחיד המכיל אותן.
  • כל מישור מכיל לפחות נקודה אחת.
  • מחוץ לכל מישור יש לפחות נקודה אחת.
  • אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, יש להם לפחות עוד נקודה משותפת.
  • אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.

באופן כללי יותר, נקודה היא איבר של מרחב טופולוגי.

הנקודה בפילוסופיה של המתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינה פילוסופית, הנקודה הייתה תמיד עצם בעייתי. היוונים הקדומים טענו שקו לא יכול להיות מורכב מנקודות והציגו מגוון רב של פרדוקסים הנובעים מההנחה שזה אכן כך, המפורסמים שבהם הם הפרדוקסים של זנון.

לעומת זאת, מדעני הרנסאנס כמו גלילאו גליליי ואייזק ניוטון אימצו את הפרדוקסליות הזאת כתכונה מופלאה של הטבע וראו בנקודה עצם לגיטימי שקיים בעולם. ניוטון אף פיתח את החשבון אינפיניטסימלי המבוסס כולו על מעין נקודה - האינפיניטסימל.

בחשבון אינפיניטסימלי ניסו לעקוף את הבעיה על ידי שימוש בקטעים קטנים כרצוננו במיקום נקודה לחישוב גבולות ואינטגרלים ומאוחר יותר אף פתחו את תורת המידה כדי לטפל בקשיים שנוצרו באנליזה הממשית הבנויה על אינפיניטסימלים וגבולות.

בעקבות ההצלחה הגדולה של החשבון האינפיניטסימלי, ניסו המתמטיקאים להעמיד את הגאומטריה על יסוד האנליזה והמספרים הממשיים - שקיומם אז נחשב לודאי ללא ספק. העמדה זו, שזיהתה את הנקודה עם מספר ממשי או זוג סדור של מספרים ממשיים, תיארה צורות גאומטריות באמצעות משוואות אלגבריות. הניסוח הראשון של גישה זו סופק על ידי רנה דקארט בספרו על גאומטריה אנליטית והצגת מערכת הצירים הקרטזית.

בעקבות מחקריו של גאורג קנטור על תורת הקבוצות, הבינו המתמטיקאים שהמספרים הממשיים אינם כה ודאיים ופשוטים, שכן אפשר לממשם רק באמצעות קבוצות המכילות אינסוף אברים (אינסוף אקטואלי). לכן, ניטשה הגישה שמנסה לבסס את הגאומטריה על האנליזה.[דרוש מקור]

המתמטיקאי דויד הילברט הציע בתזת האקסיומטיות שלו שהנקודה היא לא פחות ולא יותר מאשר העצם שמוגדר לקיים את אקסיומות הגאומטריה הנוגעים לעצם כזה. מאחר שהנקודה בעצם נבנית על ידי הגדרה כך שתקיים את האקסיומות, ברור שאין כעת שום פרדוקס או סתירה לוגית. למעשה, שאלת האמיתות של קיום הנקודה, כפי שהוגדרה על ידי הילברט, הופכת לחסרת משמעות. ברם, הנקודה של הילברט איננה הנקודה הממשית שאנו מתייחסים אליה ומדברים עליה (אף על פי שההגדרות נבנו כך שיהיה דמיון רב בין השתיים). לכן, התשובה של הילברט טובה רק לגבי הנקודה שהגדיר ולא לגבי הנקודה האמיתית.

סוגיות אלה - של אקטואליזם מול פוטנציאליזם - עדיין נמצאים במחלוקת רבה בידי פילוסופים של המדע והמתמטיקה.