סדרה הנדסית

דיאגרמה להמחשת סכום הסדרה ההנדסית $1 + \tfrac{1}{2} \,+\, \tfrac{1}{4} \,+\, \tfrac{1}{8} \,+\, \cdots$ המתכנסת ל-2.

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם $\ a_1$ הוא האיבר הראשון ו־$\ q$ היא מנת הסדרה, האיבר ה־$\ n$-י נתון על ידי הנוסחה $\ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־$\ n$-י (כולל) בעזרת הנוסחה $\ S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$.

דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן שסכום הסדרה הוא $\ S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}= \frac{2\cdot(3^5-1)}{3-1}= \frac{2\cdot242}{2}=242$

הוכחת נוסחת האיבר הכללי

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית הבאה: $\ a_1,a_2,a_3, \dots,a_{n-1},a_n$

על פי ההגדרה של סדרה הנדסית, מנת כל שני איברים עוקבים הינה קבועה: $\ \frac{a_2}{a_1}= \frac{a_3}{a_2}= \dots= \frac{a_n}{a_{n-1}}=q$

נכפול את כל האיברים ונקבל: $\ \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot \dots \cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}=q^{n-1}$

נשים לב שכל האיברים בצד שמאל מצטמצמים פרט לאיבר הראשון והאחרון: $\ \frac{a_n}{a_1}=q^{n-1}$

ובסידור קל של המשוואה נקבל:

• $\ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$

הוכחת נוסחת הסכום

הוכחה 1

כדי להוכיח את נוסחת הסכום, ראשית נשים לב כי ניתן לכתוב את הסכום כך:

$\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+\dots+q^{n-1})$

כעת נכפול ב-$\ (1-q)$. התוצאה שנקבל היא סכום שבו כל האיברים מבטלים זה את זה, פרט לראשון ולאחרון (סכום כזה מכונה טור טלסקופי):

• $\ a_1 (1+q+\dots+q^{n-1})(1-q)=a_1(1-q+q-q^2+q^2-\dots-q^{n-1}+q^{n-1}-q^n)=a_1(1-q^n)$

ומכאן נסיק:

• $\ S_n=a_1 (1+q+\dots+q^{n-1})=a_1\frac{1-q^n}{1-q}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

הוכחה 2

הסכום מוגדר כ-

$\ S_n = a_1 ( 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} )$

נכפיל ב-q ונקבל

$\ q S_n = a_1 ( q + q^2 + q^3 + \cdots + q^{n} )$

וזה שווה ל-

$\ q S_n = a_1 ( q + q^2 + q^3 + \cdots + q^{n} ) = S_n + a_1 q^{n} - a_1$

ומכאן

$\ S_n ( q -1 ) = a_1 q^{n} - a_1$

ומכאן

$\ S_n = \frac{ a_1 q^{n} - a_1 }{q-1} = a_1 \frac{ q^{n} -1 }{q-1}$

סדרה הנדסית מתכנסת

ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום הסדרה ההנדסית ניתן לראות שאם $\ |q|<1$, גם אם נסכום אינסוף אברים, סכום הסדרה יהיה סופי, כיוון שבגבול $\ n \to \infty$ האיבר $\ q^n$ שואף לאפס.

לכן, סכום הטור האינסופי הוא $S_\infty=a_1\frac{\overbrace {q^n}^0-1}{q-1} =\frac{a_1}{1-q}$. סדרות שסכומן סופי נקראות טורים מתכנסים, ויש להן חשיבות גדולה במתמטיקה. בפרט, התכנסות סכומה של הסדרה ההנדסית היא בעלת חשיבות רבה שכן ישנם מבחני התכנסות לטורים שמתבססים על היכולת להשוות טור אינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם

• סדרה חשבונית
• טור (מתמטיקה)