0 (מספר)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מספר שלם
כתיב עשרוני 0
במילים אפס
מספר סודר ---
גימטריה ---
גורמים ראשוניים ---
כתיב רומי \ N ‏‏‏[1]
כתיב בינארי 0
כתיב הקסדצימלי 0

אפס הוא המספר השלם שבא לפני 1 ואחרי ‎-1. אפס הוא המספר הסידורי הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מתייחס למספר האיברים בקבוצה הריקה.

היסטוריה של האפס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשיטת הסימון הרומית אין סימון מיוחד לאפס, והוא מבוטא בהיעדר כל סימון. המחסור בסימן מיוחד עבור האפס עיכב את התפתחותה של שיטת הסימון העשרונית, המקובלת היום.

מקורה של הקצאת סימן מיוחד לאפס בהודו של המאה ה-6. במקורו נקרא האפס "סוּניה" - מילה הינדית שפירושה "ריק" - ה-0 ייצג את העמודה הריקה בחשבונייה. ההכרה באפשרות לסמן עמודה ריקה אפשרה להודים להמציא את השיטה העשרונית, שבה האפס מבדיל בין מספרים, לדוגמה בין שלושים ואחת (31) לשלושת-אלפים ועשר (3010). כ-200 שנים אחר כך, סימנו הערבים את ספרה זו באמצעות עיגול ריק וקראו לו "סיפְר" (שוב, מילה שפירושה "ריק"). עם הזמן הפך ה"סיפר" הערבי ל-"zero" המערבי, וכך הוא נקרא עד היום. אם כי האפס הגיע לאירופה ולעולם המערבי רק לפני כ-800 שנה. הסיבה לכך שלקח לאפס זמן רב כל כך להגיע לאירופה ולעולם המערבי היא הכנסייה[דרוש מקור]. הכנסייה התנגדה למושג האפס מכיוון שהוא נוגד את תפיסתה, היא לא ידעה איך להתמודד עם רעיון האפס, רעיון הלא-כלום. ועל כן ראתה בו איום על מוסדותיה. הכנסייה טענה כי כל היצורים הם סופיים וקיימים כולם במקום כלשהו בין האלוהים לבין הלא כלום, לכן הניסיון לתאר את הלא-כלום הוא כפירה. בנוסף לכך, האפס מביא איתו את רעיון האין סוף, נוכל להראות איך בפעולת חשבון פשוטה: \frac{1}{1} שווה כמובן 1, \frac{1}{0.1} שווה ל-10, \frac{1}{0.01} שווה ל-100, \frac{1}{0.001} שווה ל-1000, וכך הלאה. מכאן שככל שנחלק במספר קטן יותר, מספר הקרוב יותר לאפס, כך נקבל מספר גדול יותר, השואף יותר ויותר לאינסוף, ונזכיר שכאשר אנו רומזים על מושג האינסוף אנו נוגדים את אמונת הכנסייה הרואה את היקום כסופי. לכן מנעה הכנסייה את כניסת האפס לתרבות המערבית והאירופאית. רק לפני 800 שנה הצליח פיבונאצ'י להכניס את האפס לאירופה. הצלחתו לא הייתה כנגד הכנסייה אלא בדרך עקיפה. הוא הצליח לשכנע את הסוחרים שבפירנצה, איטליה כי השימוש בשיטת הספירה שלמד מהערבים, השיטה הכוללת את מושג האפס, יעזור להם להרוויח יותר כסף כי תהליכי החישוב יהיו פשוטים יותר ומדויקים יותר. מאותה נקודה, מרגע שסוחרי פירנצה התלהבו מהרעיון, רעיון האפס גלש לשימוש בכל אירופה, אך עדיין, כדי לא להכניס לאלגברה את מושג האינסוף, כי האלגברה נבנתה מתוך רעיונות פילוסופיים המתאימים למושגים סופיים, אנו אוסרים את החילוק באפס. מכאן הגיעו המושגים של תחום הגדרה ותחום הצבה של משתנים ונעלמים. מילה העברית 'אפס' מופיעה כבר בתנ"ך, במובן של "אַ‏יִן". בימי הביניים השתמשו המתמטיקאים היהודים במילה סיפרא לציון האפס.

מן ההודים הגיע האפס לכתביו של המתמטיקאי והפילוסוף הפרסי בן המאה התשיעית, אל ח'ואריזמי, ורק במאה ה-11 הגיע דרך אנדלוסיה לאירופה. בתפקיד דומה מופיע האפס גם בתרבויות אמריקאיות קדומות, כמו זו של בני המאיה.

האפס במתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מלבד תפקידו של הסימן לספרת האפס בשיטות הספירה הפוזיציוניות, למספר אפס יש תפקידים רבים במתמטיקה. במספרים הסודרים, הקבוצה הריקה משמשת בסיס לבניית המספרים הטבעיים, באמצעות ההגדרות \ 0=\phi, 1=\{\phi\}, 2=\{\phi,\{\phi\}\},\dots. מספרים אלה מצטרפים לכדי מערכת פאנו של המספרים הטבעיים במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל. בדומה לזה, אפס הוא העוצמה של הקבוצה הריקה.

במערכות אלגבריות כמו שדות או חוגים, ובפרט במספרים הרציונליים ובמספרים השלמים, איבר האפס הוא האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור (איבר האפס), כלומר, האיבר z המקיים את התנאי \ a+z=a לכל a. באנליזה מפריד האפס בין שני סוגי מספרים: כל מספר גדול ממנו הוא מספר חיובי, וכל מספר קטן ממנו הוא מספר שלילי.

פעולות באפס[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתכונת הנייטרליות של המספר אפס נובעת ההרסנות של האפס בכפל: \ a\cdot 0=0. משום כך לא ניתן להגדיר את ההפכי של אפס כמספר ממשי: אילו היינו מסכימים ש- \ b = \frac{1}{0} הוא מספר ממשי, היה צריך להתקיים \ 1 = b \cdot 0 =0, וזה בלתי אפשרי. בהקשרים אחרים (גאומטריים ואנליטיים) אפשר להסכים שהחילוק באפס מניב אינסוף (\ \frac{1}{0} = \infty); הוספת האינסוף למערכת המספרים מקלקלת את מרבית התכונות שלה, ולכן מקובל יותר לומר שהחילוק באפס אינו מוגדר.

לפיכך, התוצאה של חילוק אפס באפס אינה מוגדרת, משום שכל מספר מקיים את התנאי \ a\cdot 0=0 הנדרש מתוצאת הפעולה. באנליזה של סדרות ממשיות אפשר לחקור את הגבול של תהליך שבו מתקרבים המונה והמכנה לאפס בעת ובעונה אחת. דוגמה אחת לתהליך כזה היא הגבול של sin(x)/x; קל למצוא דוגמאות שבהן מתקבל כל ערך שהוא, לרבות כל מספר ממשי, אפס, אינסוף, מינוס אינסוף, או אפילו הגבול איננו קיים כלל כגון \frac{(-1/2)^n}{(1/2)^n}.

מוסכם כי ערכה של מכפלה ריקה (שאין בה גורמים כלל) הוא 1, משום שהוספת קבוצה ריקה של גורמים למכפלה אחרת אינה משנה את ערכה, בדיוק כמו הכפל ב-1. משום כך נקבע כי \ x^0=1 לכל מספר שונה מאפס x, וקביעה זו עקבית עם כללי החזקות הרגילים, כגון \ a^{b+c}=a^b\cdot a^c. לעומת זאת, משמעות הביטוי \!\, 0^0 תלויה בהקשר. בקומבינטוריקה נוח להגדיר את ערך הביטוי כ-1 (בהתאם להגדרת החזקה של עוצמות בתור העוצמה של קבוצת פונקציות מתאימה), ובאנליזה הביטוי בדרך-כלל אינו מוגדר (משום שלכל מספר חיובי, \ x^0=1, בעוד ש- \ 0^x=0).

מאותן סיבות נקבע כי ערכה של פונקציית העצרת של אפס הוא 1 (\ 0!=1). הסדר הריק (שאינו כולל אף מרכיב) הוא הדרך היחידה לסדר את אברי הקבוצה הריקה.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • צ'ארלס זייף, אפס - ביוגרפיה של רעיון מסוכן, מי-אן, 2003

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏קיצור המילה nihil או nullus (כלום, שום דבר); בימי הביניים, לאחר שהגיע מושג האפס לתרבות המערב, נעשה לעתים שימוש בקיצור זה.‏
מספרים טבעיים
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53
60    70    80    90    100    200    300    400    500
1,000   2,000    10,000    100,000    600,000    1,000,000
אחרים
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | מספר גרהאם