סמל כריסטופל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

סמל כריסטופל ( \ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} ) הוא קשר לוי-צ'יוויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי (או סימני) כריסטופל. סמל כריסטופל איננו טנזור.

הערך משתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הלינארי בווקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:

\nabla_\mu \vec{e}_\nu=\Gamma_{\mu \nu}^\rho \vec{e}_\rho

קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:

  1. הקשר קומפטיבילי עם המטריקה (כלומר: עם הטנזור המטרי של רימן). כלומר: ניתן להחליף בסדר בין גזירה קו-ואריאנטית והעלאה והורדה של אינדקסים באמצעות המטריקה. מתמטית, זה מתבטא במשוואה \ \nabla_\rho g_{\mu \nu} = 0.
  2. הקשר הוא חסר פיתול. כלומר: ניתן להחליף את סדר הגזירה בנגזרות קו-ואריאנטיות מעורבות. מתמטית, זה מתבטא במשוואה \ (\nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) \phi = 0. מכך נובע שסמל כריסטופל סימטרי בשני האינדקסים התחתונים שלו \ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \Gamma^{\mu}_{\rho \sigma}.

משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:

\ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} \left( \frac{\partial g_{\sigma \nu}}{\partial  x^{\rho}} + \frac{\partial g_{\rho \nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma \rho}}{\partial x^\nu} \right)

כאשר \ G^{-1} = g^{\mu \nu} היא המטריצה ההופכית של הטנזור המטרי ויש סכימה על האינדקס \ \nu (ראו הסכם הסכימה של איינשטיין).

נגזרת קו-וריאנטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:

  • \ \nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^{\nu}_{\mu \rho} A^\rho
  • \ \nabla_\mu B_\nu = \partial_\mu B_\nu - \Gamma^{\rho}_{\mu \nu} B_\rho
  • \ \nabla_\mu C^\nu_\sigma = \partial_\mu C^\nu_\sigma + \Gamma^\nu_{\mu \rho} C^\rho_\sigma - \Gamma^\rho_{\mu \sigma} C^\nu_\rho

לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:

  1. נגזרת קו-ואריאנטית של טנזור גם היא טנזור.
  2. וקטור שנשאר קבוע בטרנספורט מקבילי לאורך עקומה מאופיין בכך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שלו לאורך העקומה שווה לאפס.

בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאודזית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו

\ \frac{ d^2 x^\mu}{d \tau ^2} + \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} \frac{ dx^\sigma}{d \tau} \frac{ dx^\rho}{d \tau} = 0 \quad ; \quad d \tau ^2 = - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]