ברנהרד רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
ברנהרד רימן
Bernhard Riemann
1826 –‏ 1866
Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg
תרומות עיקריות
תרומותיו העיקריות היו לאנליזה מתמטית ולגאומטריה דיפרנציאלית.

גאורג פרידריך ברנהרד רימן (גרמנית: Georg Friedrich Bernhard Riemann)‏ (17 בספטמבר 1826 - 20 ביולי 1866) היה מתמטיקאי גרמני, מחשובי המתמטיקאים של המאה ה-19. תרומותיו העיקריות היו לאנליזה מתמטית ולגאומטריה דיפרנציאלית, והן סללו את הדרך לתורת היחסות הכללית.

תולדות חייו[עריכת קוד מקור | עריכה]

רימן נולד בכפר בממלכת הנובר, הנכללת כיום בשטחה של גרמניה. אביו היה כומר לותרני. ברנהרד רימן היה השני מבין שישה ילדים. בשנת 1840 עבר רימן להנובר, שם גר אצל סבתו ולמד בגימנסיה.

בשנת 1846 החל ללמוד פילולוגיה ותאולוגיה באוניברסיטת גטינגן, שם שמע גם הרצאות של גאוס. שנה לאחר מכן התיר לו אביו לחדול מלימודי התאולוגיה ולעבור ללמוד מתמטיקה. בשנת 1847 עבר לברלין, שם למד אצל יעקובי, דיריכלה ושטיינר. בשנת 1849 חזר לאוניברסיטת גטינגן, וקיבל שם את התואר דוקטור (בהנחיית גאוס) ב-1851. (מספרים שכאשר גאוס עצמו נוכח בהרצאת הדוקטורט של רימן, הוא האזין עד תום ולאחר מכן קם והכריז: "הבנתי", בניגוד מוחלט ליהירותו המפורסמת מאוד כלפי מתמטיקאים עד לרימן, לגביהם תמיד טען כי אין מקוריות בעבודותיהם). בשנת 1857 התמנה רימן שם לפרופסור, וכעבור שנתיים, בעקבות מותו של דיריכלה, התמנה לפרופסור מן המנין.

בשנת 1862 נשא לאישה את אליזה קוך.

נפטר משחפת בעת נסיעה לאיטליה ב-20 ביולי 1866[1].

השפעתו המתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבודותיו של רימן יצרו קרקע פורייה להתפתחות רעיונות מתמטיים בהמשך המאה ה-19, והן הניבו ענפי מחקר מתמטי חדשים המשלבים אנליזה עם גאומטריה. ענפים אלו הפכו בסופו של דבר לחלקים העיקריים בתאוריות של גאומטריה רימנית, גאומטריה אלגברית, ותורת היריעות המרוכבות. התורה של משטחי רימן פותחה מאוחר יותר בידי פליקס קליין ובאופן מיוחד על ידי אדולף הורוויץ. תחום זה של המתמטיקה הוא חלק מיסודות הטופולוגיה, והוא עדיין מיושם בדרכים מקוריות וחדשות לפיזיקה מתמטית. רימן ניסח את משפט רימן רוך - קשר מפתח בין טופולוגיה, אנליזה מרוכבת וגאומטריה אלגברית.

רימן תרם רבות לאנליזה ממשית. הוא הגדיר את אינטגרל רימן במונחים של סכומי רימן, ובכך תרם לביסוס האנליזה. הוא פיתח את התאוריה של טורים טריגונומטריים שאינם טורי פורייה (הוא היה כה פורה ומקורי שלחלק מעבודתו לא ניתנה תשומת לב. לדוגמה, ויירשטראס נעשה מפורסם בן לילה כשמצא פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה, מחקר על מאמריו של רימן מצא כי הוא מצא פונקציה דומה כמה שנים קודם לכן) - צעד ראשון לקראת תאוריה של פונקציה מוכללת - וחקר את אינטגרל רימן-ליוביל. באנליזה מרוכבת ידוע משפט ההעתקה של רימן (בין כל שני תחומים פשוטי קשר יש העתקה קונפורמית), אותו הוכיח בעבודת הדוקטורט שלו.

במאמרו משנת 1854 "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה", רימן הציג את המושגים של יריעה, מטריקה רימנית, וטנזור עקמומיות. המאמר, שלווה בהרצאה המפורסמת של רימן, פתח צוהר לתאוריה של המרחב ה-n ממדי.

בחיבורו משנת 1857 "התאוריה של פונקציות אבליות" (Theorie der Abelschen Functionen), שנחשב לאחד הפרסומים החשובים ביותר בגאומטריה אלגברית, רימן פיתח את הקונספט של משטחי רימן ואת התכונות הטופולוגיות שלהן מעבר לעבודת הדוקטורט שלו משנת 1851, הוכיח משפט אינדקס על הגנוס (הניסוח המקורי של נוסחת רימן-הורוויץ), הוכיח את אי שוויון רימן על המימד של מרחב פונקציות מרומורפיות עם קטבים (הניסוח המקורי של משפט רימן-רוך), דן בטרנספורמציות בירציונליות של עקום נתון ובמימד של מרחב המודולו המתאים של עקומים לא שקולים בעלי גנוס נתון, ופתר בעיות אינוורסיה כלליות יותר מאלו שנחקרו על ידי אבל ויעקובי. אנדרה וייל כתב כי החיבור הזה "הוא אחת היצירות המתמטיות הדגולות ביותר שנכתבו אי פעם, אין אפילו משפט אחד בו שלא הוביל בעקבותיו להתפתחות מעמיקה חדשה".

לרימן השפעה מכרעת על תורת המספרים האנליטית. במאמר קצר בן 10 עמודים שכותרתו "על מספר הראשוניים הקטנים מגודל נתון", הוא הציג את פונקציית זטא של רימן וביסס את החשיבות שלה בהבנת ההתפלגות של המספרים ראשוניים. במאמר הוא נסח סדרת השערות על תכונות של פונקציית זטא, המפורסמת שבהן היא השערת רימן הידועה, הנחשבת כיום לאחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה.

רימן יישם את עקרון דיריכלה מחשבון הוריאציות בתחומים אחרים. עבודתו על מונדרונומיה והפונקציה ההיפרגאומטרית בתחום המרוכב עשתה רושם אדיר, וביססה דרך בסיסית חדשה לעבוד עם פונקציות על ידי התחשבות רק בנקודות הסינגולריות שלהן.

גאומטריה אוקלידית מול גאומטריה רימנית[עריכת קוד מקור | עריכה]

רימן פיתח גאומטריה לא-אוקלידית שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הקובעת שדרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון לא ניתן להעביר אף ישר שמקביל לישר הנתון. חוסר הסתירה שבין האקסיומות של גאומטריה זו מומחש באמצעות יצירת שקילות בינה ובין גאומטריה אוקלידית על-פני כדור. ישר בגאומטריה של רימן שקול למעגל ראשי (מעגל שעובר דרך שני הקטבים) על-פני הכדור. הרצאת הפתיחה לרגל מינויו לפּריוַוטדוֹצֶנט (הדרגה האקדמית הנמוכה ביותר), באוניברסיטת גטינגן, הייתה הרצאת הפתיחה המפורסמת ביותר שניתנה אי-פעם בתולדות המתמטיקה. ההרצאה שינתה מן הקצה אל הקצה את ההשקפה הכללית של המתמטיקאים על מהותה של הגאומטריה. בגאומטריה של רימן סכום הזוויות במשולש גדול מסכום שתי זוויות ישרות.

בשנת 1859 העלה רימן, את השערת רימן, שהפכה לאחת מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. רימן עסק בבעיה בעצמו עד למותו שבע שנים מאוחר יותר, אך לא הצליח להוכיחה. להשערת רימן קשר עמוק להתפלגות של המספרים הראשוניים ועד היום לא ניתנה לה הוכחה.

השערת רימן המדוברת, אודות המספרים הראשוניים הוזכרה במאמר בן 10 עמודים שהגיש רימן כשהתקבל לאקדמיה המדעית של ברלין. החברים החדשים של האקדמיה היו צריכים לכתוב על המחקר בו הם עוסקים, ולכן פרסם רימן את המאמר "על מספר הראשוניים הקטנים מגודל נתון" (w:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) . במאמר הוא בחן את פונקציית זטא, והעלה, כבדרך אגב, את השערת רימן, הדנה באפסים של פונקציה זו.

ממדים גבוהים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרעיון של רימן היה להדביק אוסף של מספרים לכל נקודה במרחב (טנזור) אשר יתארו כמה הוא מתעוות או מתעקם. רימן מצא כי בארבעה ממדים מרחביים, צריך אוסף של בדיוק 10 מספרים בכל נקודה כדי לתאר את התכונות של היריעה, ללא קשר לכמה היא מעוותת. זו הבנייה המפורסמת המרכזית לגאומטריה שלו, אשר ידועה עכשיו כמטריקה רימנית. בנוסף, רימן היה גם הראשון להציע להשתמש ביותר משלושה או ארבעה ממדים כדי לתאר את המציאות הפיזיקלית, רעיון שהתמזג בסופו של דבר עם התרומות של איינשטיין בתחילת המאה ה-20.

תרומות לפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

רימן תרם לחקר האלקטרומגנטיות. הוא ניסח תאוריה של אלקטרומגנטיות שקדמה לתאוריה של מקסוול. רימן הפיק את המחקר המתמטי הראשון על גלי הלם, תוך שימוש בשיטות כלליות בחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות שהציג. מאמרו Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite נחשב למאמר קלאסי בתחום התאוריה של גלי הלם, והוא החדיר שיטות אנליטיות עמוקות בפיזיקה עיונית. רימן חקר את התנועה של מסה נוזלית תחת כובדה העצמי, אשר משנה את צורתה כמו אליפסואיד משתנה. רימן ניתח את ההפרעות שמתפתחות במסה הנוזלית כתוצאה מהתנודות שלה. אחת התוצאות הקלאסיות של רימן דנה ביציבות של אליפסואיד מסתובב סביב אחד מציריו הראשיים הנתון להפרעות משווניות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]