ספרואיד

ספרואיד אובלי	ספרואיד פרובלי

ספרואיד (מכונה לעתים אליפסואיד ייחוס) הוא גוף תלת-מימד המתקבל בסיבוב אליפסה סביב אחד מציריה. זהו גם אליפסואיד בעל שני צירים שווים. כאשר ציר הסיבוב הוא הציר הראשי של האליפסה מתקבל ספרואיד פרובלי, צורה של כדור פוטבול. אם ציר הסיבוב הוא הציר המשני מתקבל ספרואיד אובלי או ספרואיד פחוס. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ. אם שני הצירים זהים, האליפסה היא עיגול ולכן הצורה שתתקבל היא כדור.

המשוואה הכללית שמתארת ספרואיד במערכת צירים קרטזית היא: $\ \left( \frac{x+y}{a} \right)^2 + \left( \frac{z}{c} \right)^2 = 1$.

זוהי משוואת אליפסואיד כאשר a=b.

פרמטרים

שני הפרמטרים שמתארים ספרואיד הם a ו-c כאשר a הוא חצי-ציר ראשי ו-c הוא חצי-ציר משני. קיימת צורה אחרת לתיאור ספרואיד שהיא הדרך הרווחת בכל המדעים מלבד המתמטיקה. שני הפרמטרים הם a ו-f כאשר a הוא חצי-ציר ראשי ו-f הוא מקדם הפחיסות: $\ f = \left( \frac{a-c}{a} \right)$.

ככל שמקדם הפחיסות קרוב יותר ל-0, הספרואיד קרוב יותר לכדור.

שטח פנים

שטח הפנים של ספרואיד פחוס (c < a):

$S_{\rm oblate} = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-f^2}{f}\tanh^{-1}f\right)$ כאשר $f$ הוא מקדם הפחיסות.

שטח הפנים של ספרואיד פרובלי (c > a):

$S_{\rm prolate} = 2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right)$ כאשר $e^2=1/f^2=1-\frac{a^2}{c^2}$

נפח

נפח של ספרואיד מכל סוג הוא $(4\pi/3) a^2c \approx 4.19\, a^2c$. אם נשנה את המשתנים כך ש-A=2a הוא אורך הציר הראשי ו-C=2c הוא אורך הציר המשני, נקבל שהנפח יהיה $(\pi/6) A^2C \approx 0.523\, A^2C$.

גאודזיה

הדאטום הנפוצים היום מניחים כי צורת כדור הארץ מקורבת לספרואיד (נוצר בגלל כוח המשיכה והסיבוב סביב עצמו). למשל ב-WGS84 מניחים שמדובר בספרואיד כאשר חצי-ציר ראשי (קו המשווה) הוא באורך 6,378.137 ק"מ וחצי-ציר משני (המרחק בין הקטבים) הוא 6,356.752 ק"מ. ההופכי של מקדם הפחיסות הוא ‎1/f = 298.257223563.

קישורים חיצוניים

• מידע על ספרואיד מאתר mathworld