נפח

ערך זה עוסק בתכונה גאומטרית מרחבית של גוף. אם התכוונתם לבעל המקצוע המעצב מתכות לכלים, ראו נפח (מקצוע).

נפח הוא כמות המקום שגוף תופס במרחב תלת-ממדי. בשפת הדיבור, כאשר מתייחסים לכלי קיבול (כמו בקבוק, דלי, משורה), מתכוונים לקיבולת ולא לנפח שתופס הכלי עצמו. ביחידות מערכת היחידות הבינלאומית הפיזיקליות, הנפח נמדד במטרים מעוקבים.

משימתה העיקרית של תורת המידה המתמטית היא להכליל את מושג הנפח התלת-ממדי (ואת מושג השטח הדו-ממדי) לאופנים כלליים יותר של שיוך "מידה" למקומות או עצמים במרחב. על-פי גישה זו, הנפח של גוף חד-ממדי, כגון קו, או לגוף דו-ממדי, כגון ריבוע, הוא אפס.

צורת החישוב של הנפח משתנה בהתאם למערכת הקואורדינטות שבה משתמשים. החישוב במערכת קואורדינטות קרטזית הוא כדלהלן:

• עבור קובייה בעלת אורך צלע $\ L$ הנפח הוא $\ L^3$.
• עבור גוף סביר כלשהו - מחלקים את הגוף למספר רב של קוביות אינפיניטסימליות ואז נפח הגוף הוא הגבול של סכום נפחי הקוביות. כלומר: מבצעים אינטגרציה נפחית על הגוף.
• הסייג על הגופים בהגדרה לעיל נובע מהפרדוקס של בנך-טרסקי המוכיח שבלי הגבלת הגדרת הנפח אפשר לחלק כדור יחידה לחלקים ולהרכיבם לשני כדורי יחידה.

נוסחאות נפח של גופים נפוצים

• עבור תיבה שאורכי צלעותיה הניצבות זו לזו הם $\ b,a$ ו-$\ c$, הנפח הוא $a\cdot b\cdot c$.
  • וכמקרה פרטי, עבור קובייה בעלת אורך צלע $\ L$ הנפח הוא $\ L^3$.
• אליפסואיד שאורך חצאי ציריו הניצבים $\ c,b,a$ הוא $\frac{4}{3} \pi a \cdot b \cdot c$.
  • וכמקרה פרטי, כדור ברדיוס $\ R$: $\ \frac{4}{3} \pi R^3$.
• מנסרה או גליל בעלי שטח בסיס $\ S$ וגובה לבסיס $\ h$: $\ S \cdot h$.
  • וכמקרה פרטי, גליל מעגלי בעל בסיס ברדיוס $\ R$ וגובה $\ h$: $\ \pi R^2 h$.
• פירמידה או חרוט בעלי שטח בסיס $\ S$ וגובה לבסיס $\ h$: $\frac{S\cdot h}{3}$.
  • וכמקרה פרטי, עבור חרוט מעגלי בעל בסיס ברדיוס $\ R$ וגובה $\ h$: $\frac{\pi R^2 h}{3}$.

יחידות מידה לנפח

• גלון
• ליטר
• מטר מעוקב
• חבית
• רגל מעוקב

ראו גם

• אורך
• שטח
• פונקציית מידה
• יעקוביאן
• אנליזה וקטורית