מערכת צירים קרטזית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

מערכת הצירים הקרטזית היא מערכת צירים שהגה בשנת 1637 המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי רנה דקארט, כדרך להצגה מדויקת של מיקום נקודות במישור ובמרחב התלת-ממדי.

הגדרה פורמלית: מערכת הצירים הקרטזית (במרחב אוקלידי מממד n) היא מערכת המורכבת מ-n וקטורי יחידה הניצבים זה לזה. כלומר: איברי הבסיס היוצרים אותם הם \ 1 \le i \le n \ : \ \vec{e_i} כאשר הכוונה כאן היא ל‏n-יה סדורה שבה יש 1 במקום ה-i ו-0 בשאר המקומות. בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי. בסיס זה מהווה בסיס אורתונורמלי קבוע.

בדרך כלל, הביטוי "מערכת צירים קרטזית" משמש רק במקרים הפרטיים של מישור ( \mathbb{R}^2 ) ומרחב תלת-ממדי ( \mathbb{R}^3 ).

דוגמאות חשובות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להבין את מהות מערכת הצירים נציג שני מקרים פרטיים, שהם השימושיים ביותר וקל לדמיין אותם ואף לשרטטם על דף נייר.

מערכת צירים דו-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת הצירים הקרטזית המודרנית מוגדרת לרוב על ידי שני קווים ישרים הנקראים צירים, הממוקמים בזווית ישרה אחד מהשני, ויוצרים מישור (מישור ה-xy). הציר האופקי מסומן ב-x, והציר האנכי מסומן ב-y.

נקודת החיתוך של הצירים נקראת ראשית הצירים ומסומנת לרוב באות הלועזית O. כדי לציין נקודה מסוימת במערכת צירים זו, מציינים את יחידת ה-x ואת יחידת ה-y של הנקודה ויוצרים את הזוג הסדור (x,y). במערכת צירים תלת-ממדית נוספת גם יחידת z ונוצרת השלשה הסדורה (x,y,z).

הנקודה p בתמונה הבאה נמצאת במיקום (3,5).

Cartesiancoordinates2D he.svg

מערכת צירים תלת-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתחילת המאה ה-19 נוסף ממד נוסף של מדידה, בעזרת ציר ה-z.

Cartesian coordinates 3D he.svg מערכת צירים 3D קרטזית ימנית.svg

הבסיס של מערכת צירים זאת הוא

\ \hat{x} = \hat{e_1} = (1,0,0) \quad \hat{y} = \hat{e_2} = (0,1,0) \quad \hat{z} = \hat{e_3} = (0,0,1)

וקל לראות שהם אכן ניצבים גאומטרית וכן אורתוגונליים ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית. יתרה מכך, וקטורי הבסיס מהווים שלשה ימנית כפי שניתן לראות מביצוע המכפלה הווקטורית שלהם: \ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}.

הקואורדינטות הקרטזיות ב \mathbb{R}^3 משמשות כמבנה נוח ושימושי ביותר לתיאור המרחב התלת ממדי ושימושיות במיוחד באנליזה וקטורית.

שימושים במערכת צירים קרטזית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ברוב המקרים בהם מדובר על מערכת צירים, הכוונה היא למערכת צירים קרטזית. רק בפיזיקה ובמתמטיקה קיים שימוש נרחב במערכות צירים אחרות. בנוסף לעתים קרובות משמשת מערכת צירים קרטזית בתור התרגום לגאומטריה אנליטית של גאומטריה אוקלידית.

דוגמאות לשימוש:

  1. ציור גרפים של תופעות (למשל מכירות) לפי זמן.
  2. הצגה של גרפיקה על מסך המחשב.
  3. שרטוט מפות גאוגרפיות (דו-ממדיות) ושימוש במערכת צירים קרטזית על מנת לתת נקודות ציון (קואורדינטות) למקומות חשובים על גבי המפה. ראו גם: קווי אורך וקווי רוחב.
  4. תיאור המרחב התלת-ממדי לצורכי אנליזה וקטורית ותיאור שדות פיזיקליים. תיאור זה רווח במיוחד בפיזיקה ובו מערכת הצירים היא גם קונסטרוקציה אלגברית ולא גאומטרית גרידא.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]