אליפסה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אליפסה היא צורה גאומטרית במישור, הדומה למעגל פחוס; למעשה, המעגל אינו אלא מקרה פרטי של אליפסה. האליפסה היא חתך החרוט היחיד שהוא חסום במישור.

תוכן עניינים

1 האליפסה כמקום גאומטרי
2 משוואות האליפסה הקנונית
3 משוואת האליפסה
4 אליפסה בפיזיקה
5 קישורים חיצוניים

[עריכה] האליפסה כמקום גאומטרי

ההגדרה המדויקת של אליפסה היא כדלהלן:

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא קבוע. שתי הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה.

המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהיחס בין מרחקיהן משתי נקודות הוא קבוע חיובי - גם הוא אליפסה (או, במקרים קיצוניים, קו ישר).

[עריכה] משוואות האליפסה הקנונית

את האליפסה ניתן לתאר בצורה אלגברית, באמצעות התורה של הגאומטריה האנליטית. בגישה זו אנו מתארים את האליפסה כעקומה בקואורדינטות קרטזיות כאשר כל נקודה מיוצגת על ידי הזוג הסדור (x,y).

נניח שלאליפסה יש ציר ראשי באורך 2a וציר משני באורך 2b. אזי משוואת האליפסה הקנונית (כלומר, אליפסה שצירה הראשי מתלכד עם ציר ה-x וצירה המשני מתלכד עם ציר ה-y, ושניהם נפגשים בראשית) היא:

$\frac {x^2} {a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

מוקדי אליפסה זו, יהיו $(\sqrt{a^2-b^2}, 0), (-\sqrt{a^2-b^2}, 0)$

כלומר, האליפסה היא אוסף כל הנקודות (x,y) שמקיים את המשוואה הזו.

אם נעביר ישר דרך מוקדי האליפסה, הוא יחתוך אותה בנקודות A ו-B. נבנה אנך אמצעי לקטע AB אשר יחתוך את האליפסה בנקודות C ו-D. אזי הקטע AB נקרא הציר הראשי של האליפסה, והקטע CD נקרא הציר המשני של האליפסה.

הצגה פרמטרית של אותה אליפסה היא:

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

אם המרחק בין שני מוקדי האליפסה הוא 2c, אזי $\ \epsilon = c/a$ נקרא האקסצנטריות של האליפסה. $\ \epsilon$ הוא מספר בין 0 ל-1; ככל ש- $\ \epsilon$ יותר קרוב ל-0 האליפסה יותר מעגלית, וככל ש- $\ \epsilon$ יותר קרוב ל-1 האליפסה יותר צרה. דרך נוספת לבטא את האקסצנטריות של האליפסה היא:

$\ \epsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

השטח של האליפסה הוא πab.

[עריכה] משוואת האליפסה

משוואת אליפסה אשר ציריה מקבילים לציר ה- $\ x$ ולציר ה- $\ y$ , אולם מרכזה הוא בנקודה $\ (h,k)$ היא: $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\,\!$ אולם גם זו היא אינה המשוואה הכללית ביותר של האליפסה. המשוואה של האליפסה היא: $A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,$ במקרים בהם $\ B^2 < 4 AC \,$

כדי "לסובב את האליפסה" כך שציריה יהיו מקבילים לצירים יש "לקבוע" שני צירים חדשים. ציר $\ x'$ ו- $\ y'$ כך שצירי האליפסה המקורית יהיו עליהם. זאת עושים על פי נוסחת המעבר:

$x=x'\,\cos \alpha - y'\,\sin \alpha\!$

$y=x'\,\sin \alpha + y'\,\cos \alpha\!$

מכאן שמשוואת האליפסה החדשה תהיה: $A' x^2 + B' xy + C' y^2 + D' x + E' y + F' = 0 \,$

כאשר: $\ A' = A\, \cos^{2} \alpha + B\, \cos \alpha \, \sin \alpha + C\, \sin^{2} \alpha$

$\ B' = B\, \cos 2\alpha + (C-A)\, \sin 2\alpha$

$\ C' = A\, \sin^{2} \alpha - B\, \sin \alpha \, \cos \alpha + C\, \cos^{2} \alpha$

$\ D' = D\, \cos \alpha + E\, \sin \alpha$

$\ E' = -D\,\sin \alpha + E\, \cos \alpha$

$\ F' = F$

האליפסה תהיה מקבילה לצירים כאשר לא תהיה מכפלה וקטורית של $\ x$ ו- $\ y$ , כלומר כאשר $\ B' = 0$ . ומכאן אפשר למצוא בקלות את זווית $\ \alpha$ :

$\ \tan 2\alpha = \frac{B}{A-C}$

כל שנותר לאחר מציאת הזווית $\ \alpha$ והמשוואה החדשה הוא לכנס איברים ולהפוך אותה למשוואה מן הסוג $\frac{(x'-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y'-k)^{2}}{b^{2}}=1\,\!$

אפשר לפשט עוד יותר ולהתייחס לאליפסה החדשה כ- $\frac{x''^{2}}{a^{2}}+\frac{y''^{2}}{b^{2}}=1\,\!$

כל תוצאה אשר מקבלים באליפסה החדשה יש לתרגם אותה להאליפסה המקורית באמצעות נוסחת המעבר הבא:

$\ x' = x'' + h$

$x=x'\,\cos \alpha - y'\,\sin \alpha\!$

$\ y' = y'' + k$

$y=x'\,\sin \alpha - y'\,\cos \alpha\!$

חשוב לזכור כי $\ a,b,c$ נשארים קבועים ואינם משתנים

[עריכה] אליפסה בפיזיקה

אליפסה היא אחד מחתכי החרוט והיא מופיעה כפתרון של לא מעט בעיות בפיזיקה.

בהתאם לחוקי קפלר מסלולו של כוכב לכת מהווה אליפסה, כשהשמש נמצאת באחד משני המוקדים של האליפסה.

המסלול של מתנד הרמוני במרחב הפאזה הוא אליפסה (כלומר אם מציירים את התנע של המתנד כפונקציה של המיקום שלו מקבלים אליפסה).

בהתאם לחוקי השבירה של האור, קרן אור היוצאת ממוקד של האליפסה (בכיוון כלשהו) ופוגעת בהיקף האליפסה (המשמש מראה, המחזירה קרן אור בזווית החזרה השווה לזווית הפגיעה), תוחזר אל המוקד השני. הקול מוחזר על-פי כללי החזרה זהים. תכונה זו של האליפסה באה לידי ביטוי באחד מספריו של קרל מאי, שבו התכנסו מנהיגי האינדיאנים בעמק שצורתו אליפסה, וקיימו את פגישתם הסודית באחד ממוקדי האליפסה. יד הנפץ, ששם לב לכך, הלך בשקט למוקד השני והאזין לשיחתם, שהועברה אליו בצורת הד, מבלי שהם ירגישו בכך.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: אליפסה

אליפסה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] האליפסה כמקום גאומטרי

[עריכה] משוואות האליפסה הקנונית

[עריכה] משוואת האליפסה

[עריכה] אליפסה בפיזיקה

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות