עדשה (גאומטריה)

דוגמאות לעדשות. במרכז עדשה סימטרית, בצדדים עדשות אסימטריות

בגאומטריה אוקלידית, עדשה הוא שטח קמור החסום בין שתי קשתות מעגליות, ונמצא בתוך שני המעגלים. לעומת זאת, השטח החסום בין שתי קשתות מעגליות, אחת מבפנים למעגל והשנייה מבחוץ, קרוי סהרון. בעדשה מרכזי הקשתות נמצאים משני צדי העדשה ובצד אחד של הסהרון. בשני המקרים, לשתי הקשתות מיתר משותף יחיד.

פורמלית, עדשה היא חיתוך בין שני עיגולים (כאשר חיתוך זה אינו ריק, ואף עיגול אינו מכיל בשלמות את העיגול האחר). כלומר, אם $A,B$ עיגולים אזי $A\cap B$ הוא עדשה ו-$A-(A\cap B)$ הוא סהרון.

כאשר לשתי הקשתות אותו רדיוס, העדשה היא עדשה סימטרית; כאשר לשתי הקשתות רדיוסים שונים, זו עדשה אסימטרית. עדשה סימטרית שבה המרכז של כל קשת נמצא על הקשת האחרת קרויה וסיקה פיסקיס.

עדשה מופיעה בחקר פונקציית בסל, סדרת קפטיין ומשוואת קפלר.

שטח העדשה ואורכה

שטח של עדשה סימטרית עם קשתות שרדיוסן $\ R$ וקשת שגודלה $\ \theta$ רדיאנים הוא

$A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)$

שטח של עדשה אסימטרית עם קשתות שרדיוסיהן הם $\ R$ ו-$\ r$ והמרחק בין מרכזיהן הוא $\ d$ הוא

$A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$

כאשר

$\Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}$

הוא שטח המשולש שצלעותיו הן $\ R$, $\ r$ ו-$\ d$.

שני העיגולים נחתכים (כלומר נוצרת עדשה) כאשר מתקיים $d<r+R$.

אורך המיתר המשותף לשתי הקשתות $\ h$ הוא בעדשה סימטרית

$\ h={\sqrt {4R^{2}-d^{2}}}$

ובעדשה אסימטרית

$\ h={\frac {1}{d}}{\sqrt {4d^{2}R^{2}-(d^{2}-r^{2}+R^{2})^{2}}}={\frac {1}{d}}{\sqrt {(-d+r-R)(-d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}}$

כאשר המרחק $\ d$ בין מרכזי העיגולים גדול דיו, המיתר המשותף לשתי הקשתות עובר בין שני המרכזים:

כאשר המרחק $\ d$ בין מרכזי העיגולים קטן, המיתר המשותף לשתי הקשתות עובר מחוץ לקטע המקשר בין שני המרכזים:

ראו גם

• סהרון (גאומטריה)
• לימון (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא עדשה בוויקישיתוף

• עדשה, באתר MathWorld (באנגלית)