מעגל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "עיגול" מפנה לכאן. לערך העוסק בפעולה מתמטית, ראו עיגול (אריתמטיקה).
החלק החיצוני הצבוע באפור מסמן את המעגל והשטח הצבוע בצהוב מסמן את פנים העיגול

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קבוע. המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא רדיוס (בעברית מחוג).

היחס בין היקף העיגול (אותו מקיף המעגל) לקוטרו קבוע בכל המעגלים, ומסומן על ידי האות היוונית π.

למעגל ברדיוס \ R היקף \ 2 \pi R, והוא חוסם עיגול ששטחו \ \pi R^2.

מינוח בעברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקור המילה הוא במשנה, מסכת תרומות, פרק ד', משנה ח'העיגולים מעלים את המלבנים (מלבן), והמלבנים מעלים את העיגולים"

בעברית, מבחינים בין מעגל, שהוא הקו העגול, ובין עיגול, שהוא התחום החסום על ידי קו זה. הבחנה זו קיימת רק בצורה גאומטרית זו. למרות זאת, אנו מדברים בעברית על היקף המעגל (אם כי נראה שראוי היה יותר לומר אורך המעגל או היקף העיגול) ושטח העיגול. במשולש, מרובע, מלבן וכו' - בכולם השם מתייחס גם להיקף וגם לשטח. ערך זה עוסק בצורה הגאומטרית על מכלול תכונותיה, כלומר הוא עוסק במעגל ובעיגול גם יחד.

מושגים בסיסיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קטעים במעגל[עריכת קוד מקור | עריכה]

קטעים במעגל

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות \ R .

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר, ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר \ 2 R .

ישרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או אפס נקודות חיתוך.

א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא חותך למעגל.

ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא משיק למעגל.

ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא ישר חיצוני למעגל.

אם נתונות משוואת הישר ומשוואת המעגל, ניתן להבחין בין שלושת המקרים בעזרת סימנה של הדיסקרימיננטה המתקבלת בפתרון מערכת המשוואות.

זוויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל).

זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני חותכים למעגל).

קשתות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף).

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל כאשר מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.

מעגל מיתר, קוטר ומשיק למעגל זוויות

משפטים על המעגל[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקשתות שוות מתאימים מיתרים שווים. משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה.
מיתרים שווים לקשתות שוות משיק מאונך לרדיוס
זווית היקפית שווה בגודלה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת - שוות בגודלן.
זווית היקפית וזווית מרכזית זוויות היקפיות

משפטים נוספים:

  1. על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות.
  2. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
  3. קטע המרכזים או המשכו של שני מעגלים המשיקים זה לזה, עובר דרך נקודת ההשקה שלהם.
  4. מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו.
  5. מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות שלו.
  6. במרובע החוסם מעגל, סכום זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג האחר.
  7. במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.
  8. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
  9. זווית הקפית נשענת על קוטר אם ורק אם היא זווית ישרה - כיוון שהיא נשענת על קשת שהיא חצי מעגל.
  10. מספר זוויות היקפיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם - סכומן שווה 180 .
  11. מספר זוויות מרכזיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם - סכומן שווה 360 .
  12. שני משיקים לאותו מעגל, היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה.
  13. הקטע שבין נקודת הראייה של שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למרכז המעגל, חוצה את זווית הראייה.
  14. מכפלת חותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע משיק היוצא מאותה נקודה. (גודל זה מכונה דרגה של נקודה)
  15. האנך למיתר ממרכז המעגל - חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה וחוצה את הקשת השייכת למיתר.
  16. מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז. מיתר גדול יותר קרוב למרכז מאשר מיתר קטן.
  17. חוצה זווית בין 2 מיתרים שווים - הוא רדיוס.
  18. משפט הפרפר - משפט מיתרים.
  19. אליפסה ששני מוקדיה מתלכדים היא מעגל.
  20. מעגל אפולוניוס הוא מעגל.

עיגול[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיגול סגור הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן או שווה לגודל קבוע.
ניתן להגדיר עיגול סגור גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, לרבות המעגל עצמו.

עיגול פתוח הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן מגודל קבוע.
ניתן להגדיר עיגול פתוח גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, למעט המעגל עצמו.

עיגול הוא כל צורה המכילה את כל הנקודות התחומות על ידי מעגל ואולי גם נקודות על המעגל עצמו (בפרט עיגולים פתוחים ועיגולים סגורים הם עיגולים).

חלקים של העיגול[עריכת קוד מקור | עריכה]

Circle arc.svg

גזרה היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל.

היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח המעגל שווה ליחס בין זווית הגיזרה לסיבוב שלם השווה ליחס בין אורך הקשת של הגיזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר ששטח הגיזרה יהיה שווה: S = \frac{ \theta \cdot R^2}{2} = \frac{l \cdot R}{2} כאשר l הוא אורך הקשת והזוויות ברדיאנים.

Circle segment.jpg

מקטע הוא צורה הכלואה בין מיתר לקשת המתאימה לו.

שטח המקטע שווה להפרש בין שטח הגיזרה הנכלאת בין 2 הרדיוסים המחוברים לקצוות המיתר לבין שטח המשולש שצלעותיו הן המיתר ו2 הרדיוסים המחוברים לקצוותיו. כלומר שטחו שווה ל:

 \frac{R \cdot ( \theta \cdot R - d \cdot \cos (\theta/2) )}{2} = \frac{1}{2} R^2 \cdot \left(  \theta   - \sin (\theta))\ \right) כאשר d הוא אורך המיתר.

המעגל והעיגול בגאומטריה אנליטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת המעגל בגאומטריה אנליטית היא

 \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

כאשר  \!\, (x_0 , y_0 ) היא מרכז המעגל ו-R הוא מחוגו, מעגל שמרכזו בראשית הצירים \ (0,0) נקרא מעגל קנוני. העיגול הסגור מוגבל על ידי אי-השוויון החלש  \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2, ואילו העיגול הפתוח מוגבל על ידי אי-השוויון החזק  \!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2.

באופן כללי, התבנית הריבועית Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 מתארת מעגל אם ורק אם המרכיב הריבועי הוא כפולה של x^2+y^2.

במקורות היהדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

האיור המלווה את פירוש התוספות

התוספות במסכת סוכה (ח, א) מציגים שיטה לחישוב שטח העיגול: בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. יווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים. השיטה המוצגת בתוספות היא שיטתו של אברהם בר חייא.

ברמב"ם הלכות טומאות מת פרק יב' , הלכה ח'

"סאה שהיא מוטה על צדה באוויר אינה מביאה את הטומאה תחת כולה עד שיהיה בהיקפה ד' טפחים ומחצה בקרוב כדי שיהיה גובה הצד העליון טפח ומחצה ויהיה הטפח על טפח ממנה גבהו מעל הארץ טפח לפיכך אם הייתה גבוהה מעל הארץ חצי טפח והיה בהיקפה שלשה מביאה את הטומאה וכן עמוד עגול שהוא מוטל לאוויר ומונח על הארץ אינו מביא טומאה תחת דפנו עד שיהיה בו היקף כ"ד טפחים ואם אין בהיקפו עשרים וארבעה טפחים טומאה בוקעת ועולה בוקעת ויורדת זה שהצריכו עשרים וארבעה טפחים על העיקרין שסומכים עליהן חכמים בחשבון כל המשפטים שכל שיש בהיקפו שלשה יש בו רוחב טפח וכל טפח על טפח ברבוע יש באלכסונו טפח ושני חומשין לפיכך אם היה בהיקף העמוד עשרים וארבעה טפחים נמצא תחת כל דפנו טפח על רום טפח מרובע ויתר מעט שחשבונות אלו בקרוב הן."

המעגל בתרבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קומונרים (מדריכים) בנוע"ל אוכלים ארוחת צהריים משותפת בצורה מעגלית.
ריקוד הורה מעגלי בשומר הצעיר בשנות ה-30

המעגל, כצורת התכנסות או התוועדות של אנשים מאפשר מפגש "שיוויוני" בו כל אחד פונה ומסתכל אל כולם, להבדיל ממפגש פרונטלי כמו מרצה וכיתה, או שחקן מול קהל. ניתן למצוא דוגמאות להתכנסות מעגלית של בני אדם בתרבויות שבטיות המתכנסות לטקס סביב למדורה, באגדת אבירי השולחן העגול של המלך ארתור, בריקודי עם וכדומה.

יחד עם זאת, לעתים קרובות אנשים מתכנסים (כיום ובמהלך ההיסטוריה) בצורת מעגל או קשת של מעגל כדי לצפות באירוע המתרחש במרכזו, כמו במופעי רחוב, באצטדיונים (לרוב לא עגולים), אולמי הופעות מסוימים ואמפיתיאטראות כגון הקולוסיאום.

בחינוך בא רעיון ההתכנסות במעגל לידי ביטוי בעיקר בחינוך בלתי פורמלי, ובתנועות הנוער. תנועות הנוער הציוניות אף הורישו רעיון זה לפלמ"ח חיים חפר תיאר תרבות זו במאמר בעיתון "דבר" ב-1982, וכינה אותה "תרבות המעגל" :

Cquote2.svg

"תרבות המעגל" שהתקיימה בתנועות הנוער ובתנועה הקיבוצית ובפלמ"ח ובעוד מסגרות רצוניות, טיפחה סגנון דיבור מיוחד. את מקום הנואם הגדול תפס המשוחח-המורה, המבקש לברר דברים, להבקיע יחדיו מן הספק, לשכנע בצוותא.

Cquote3.svg

המושג "מעגל" משמש לעתים בשפה להצגת תהליכים מחזוריים (כגון מעגל החיים או מעגל קרבס) או מצבים חסרי מוצא (כגון מעגל העוני או מעגל קסמים).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]