מעגל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הדף "עיגול" מפנה לכאן. לערך העוסק בפעולה מתמטית, ראו עיגול (אריתמטיקה).

ערך זה עוסק במבנה בגאומטריה. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו מעגל (פירושונים).

החלק החיצוני הצבוע באפור הוא המעגל והחלק הפנימי הצבוע בצהוב הוא העיגול

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קבוע. המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא רדיוס (בעברית מחוג).

מבחינים בין מעגל, שהוא הקו העגול, ובין עיגול, שהוא התחום החסום על ידי קו זה. בהתאם לכך, אנו מדברים בעברית על היקף המעגל (אם כי נראה שראוי היה יותר לומר אורך המעגל או היקף העיגול) ושטח העיגול. הבחנה זו קיימת רק בצורה גאומטרית זו. במשולש, מרובע, מלבן וכו' - בכולם השם מתייחס גם להיקף וגם לשטח. גם באנגלית, עיגול ומעגל שניהם circle. ערך זה עוסק בצורה הגאומטרית על מכלול תכונותיה, כלומר הוא עוסק במעגל ובעיגול גם יחד.

היחס בין היקף העיגול (אותו מקיף המעגל) לקוטרו קבוע בכל המעגלים, ומסומן על ידי האות היוונית π.

כאשר לעיגול (ולמעגל המקיף אותו) רדיוס $\ R$ , היקפו הוא $\ 2 \pi R$ , ושטחו הוא $\ \pi R^2$ .

ניתן לראות מעגל כמקרה פרטי של אליפסה בה שני המוקדים זהים.

[עריכה] מושגים בסיסיים

[עריכה] קטעים במעגל

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות $\ R$ .

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר, ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר $\ 2 R$ .

[עריכה] ישרים

לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או אפס נקודות חיתוך.

א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא חותך למעגל.

ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא משיק למעגל.

ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא ישר חיצוני למעגל.

אם נתונות משוואת הישר ומשוואת המעגל, ניתן להבחיו בין שלושת המקרים בעזרת סימנה של הדיסקרימיננטה המתקבלת בפתרון מערכת המשוואות.

[עריכה] זוויות

זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל).

זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל).

זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני חותכים למעגל).

[עריכה] קשתות

שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף).

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, יש לציין כי הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל וכי מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.

[עריכה] משפטים על המעגל

לקשתות שוות מתאימים מיתרים שווים.		משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה.


זווית היקפית שווה בגודלה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.		זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת - שוות בגודלן.

משפטים נוספים:

על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות.
קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
קטע המרכזים של שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ, עובר דרך נקודת ההשקה שלהם.
מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו.
מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות שלו.
במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.
במרובע החוסם מעגל, סכום זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג האחר.
זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
זווית הקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. ולהיפך - אם זווית היקפית היא ישרה אז היא נשענת על קוטר המעגל.
שני משיקים לאותו מעגל, היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה.
הקטע שבין נקודת הראייה של שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למרכז המעגל, חוצה את זווית הראייה.
האנך למיתר ממרכז המעגל - חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה וחוצה את הקשת השייכת למיתר.
מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז. מיתר גדול יותר קרוב למרכז מאשר מיתר קטן.

[עריכה] עיגול

עיגול סגור הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן או שווה לגודל קבוע.
ניתן להגדיר עיגול סגור גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, לרבות המעגל עצמו.

עיגול פתוח הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן מגודל קבוע.
ניתן להגדיר עיגול פתוח גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, למעט המעגל עצמו.

מעגל ייקרא "חוסם את העיגול" או "היקף העיגול" אם שניהם במישור משותף ויש להם מרכז ורדיוס משותפים.

עיגול הוא עיגול סגור למעט (אולי) חלק (או כל) נקודות המעגל החוסם אותו.

[עריכה] חלקים של העיגול

גזרה היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל.

היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח המעגל שווה ליחס בין זווית הגיזרה לסיבוב שלם השווה ליחס בין אורך הקשת של הגיזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר ששטח הגיזרה יהיה שווה: $S = \frac{ \theta \cdot R^2}{2} = \frac{l \cdot R}{2}$ כאשר l הוא אורך הקשת והזוויות ברדיאנים.

מקטע הוא צורה הכלואה בין מיתר לקשת המתאימה לו.

שטח המקטע שווה להפרש בין שטח הגיזרה הנכלאת בין 2 הרדיוסים המחוברים לקצוות המיתר לבין שטח המשולש שצלעותיו הן המיתר ו2 הרדיוסים המחוברים לקצוותיו. כלומר שטחו שווה ל:

$\frac{R \cdot ( \theta \cdot R - d \cdot \cos (\theta/2) )}{2} = R^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \theta - \sin ( \theta / 2) \cdot \cos (\theta /2) \right)$ כאשר d הוא אורך המיתר.

[עריכה] המעגל והעיגול בגאומטריה אנליטית

בגאומטריה אנליטית מיוצג המעגל באמצעות המשוואה הבאה:

$\!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

כאשר $\!\, (x_0 , y_0 )$ היא מרכז המעגל ו R הוא מחוגו, מעגל שמרכזו בראשית הצירים $\ (0,0)$ נקרא מעגל קנוני. העיגול הסגור מוגבל על ידי אי-השוויון החלש $\!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$ , ואילו העיגול הפתוח מוגבל על ידי אי-השוויון החזק $\!\, (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2$ .

[עריכה] תרבות המעגל

קומונרים (מדריכים) בנוע"ל אוכלים ארוחת צהריים משותפת בצורה מעגלית.

המעגל, כצורת התכנסות או התוועדות של אנשים מאפשר מפגש "שיוויוני" בו כל אחד פונה ומסתכל אל כולם, להבדיל ממפגש פרונטלי כמו מרצה וכיתה, או שחקן מול קהל. ניתן למצוא דוגמאות להתכנסות מעגלית של בני אדם בתרבויות שבטיות המתכנסות לטקס סביב למדורה, באגדת אבירי השולחן העגול של המלך ארתור, בריקודי עם וכד'.

בחינוך בא רעיון ההתכנסות במעגל לידי ביטוי בעיקר בחינוך בלתי פורמלי, ובתנועות הנוער. תנועות הנוער הציוניות אף הורישו רעיון זה לפלמ"ח חיים חפר תיאר תרבות זו במאמר בעיתון "דבר" ב-1982, וכינה אותה "תרבות המעגל" :

	"תרבות המעגל" שהתקיימה בתנועות הנוער ובתנועה הקיבוצית ובפלמ"ח ובעוד מסגרות רצוניות, טיפחה סגנון דיבור מיוחד. את מקום הנואם הגדול תפס המשוחח-המורה, המבקש לברר דברים, להבקיע יחדיו מן הספק, לשכנע בצוותא.