רדיאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
זווית בגודל של רדיאן אחד נוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל

רדיאן היא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלולה במערכת היחידות הבינלאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבינלאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.

הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל - \  \ R (ראו באיור משמאל). כיון שהיקף מעגל הוא \ 2 \pi R, במעגל כולו יש בסך הכל \ 2 \pi רדיאנים.

לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת. לעתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.

רדיאנים ומעלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרה בין מעלות (בתוך המעגל) לרדיאנים (מחוץ למעגל).

במובן מסוים, הרדיאנים הם יחידות הזווית האמיתיות, מאחר שמדובר בגדלים חסרי ממד הנקבעים על פי היחסים הטבעיים שבבעיה, רדיוס וקשת המעגל. זאת לעומת השימוש במעלות, בו נעשית חלוקה שרירותית של המעגל ל-360 גזרות.

מכיוון שהמעגל מחולק ל-\ 2\pi רדיאנים ול- 360 מעלות:

  • כל רדיאן שווה ל- \ 180/\pi \approx 57.29578 מעלות.
  • כל מעלה שווה ל- \ \pi/180 \approx 0.017 רדיאנים.
מעלות 30 45 60 90 120 180 270 360
רדיאנים \ \pi/6 \ \pi/4 \ \pi/3 \ \pi/2 \ 2\pi/3 \ \pi \ 3\pi/2 \ 2\pi
גרדיאנים ⅓ 33 50 ⅔ 66 100 ⅓ 133 200 300 400

שימוש ברדיאנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במתמטיקה ופיזיקה, כאשר מבצעים אנליזה מתמטית של פונקציות טריגונומטריות, הארגומנט של הפונקציה ניתן תמיד ברדיאנים כך שהפונקציה מקבלת גודל חסר ממדים ומחזירה גודל חסר ממדים.

לדוגמה: עבור גל, פונקציית הגל מתוארת על ידי \ \psi (t,x) = A \sin\left( \omega t - 2\pi x / \lambda \right) כאשר \ \omega היא התדירות הזוויתית (יחידות של 1 חלקי זמן) ואילו \ \lambda הוא אורך הגל (יחידות של 1 חלקי אורך).

אחד המניעים למדידת זוויות ברדיאנים, ולא במעלות, הוא שבחשבון אינפיניטסימלי, השימוש ברדיאנים מוביל לזהות הפשוטה:

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1

אשר היא הבסיס לזהויות רבות במתמטיקה דוגמת נוסחאות הגזירה של הפונקציות הטריגונומטריות. לכן, הרדיאן הוא יחידת מידה "טבעית" לזווית. לו הזווית הייתה נמדדת במעלות ולא ברדיאנים, הגבול והנגזרות היו כוללים פקטור תיקון שהיה מסרבל מעט את הנוסחאות, ואינו מופיע כאשר מודדים את הזווית ברדיאנים. כך, לדוגמה, טור טיילור של פונקציית הסינוס, כאשר הזווית נמדדת ברדיאנים, הוא:


\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\end{align}

אם, לעומת זאת, הזווית הייתה נמדדת במעלות, מהעובדה ש-x רדיאנים שווים πx /180 מעלות, היה מתקבל טור טיילור הבא:

\begin{align}
\sin x_\mathrm{deg} & = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots .
\end{align}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]