פונקציה יוצרת מומנטים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לקרוא את המומנטים של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה X היא פונקציה של משתנה ממשי \ t המוגדרת כתוחלת \ M_X(t)=E(e^{tX}), כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת \ E(e^{itX}).

אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה n פעמים בקטע הכולל את הנקודה \ t=0, אז המומנט ה-n-י של המשתנה הוא הנגזרת ה-n-ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר \ E(X^n) = M_X^{(n)}(0). לדוגמה, \ M_X(0)=1, \ M_X'(0)=E(X) ו- \ M_X''(0)=E(X^2). אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של 0, אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: \ M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{E(X^n)}{n!}t^n.

כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, \ M_X(-t) היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.

בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-\ n!).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי Z היא \ M_Z(t)=e^{t^2/2}.

למשתנה מקרי X בעל התפלגות אקספוננציאלית שהתוחלת שלה \ \theta יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת עבור \ t<\frac{1}{\theta}, שהיא \ M_X(t)=\frac{1}{1-\theta t}. הנגזרת ה-n-ית היא \ M_X^{(n)}(t)=\frac{n!\cdot \theta^n}{(1-\theta t)^{n+1}}, והצבת \ t=0 נותנת \ E(X^n)=M_X^{(n)}(0)=n! \theta^n.

קשרים בין משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ a,b מספרים ממשיים ו- \ Y=aX+b משתנה מקרי, אז \ M_Y(t)=E(e^{t(aX+b)})=e^{bt}M_X(at). אם \ X_1,\dots,X_n משתנים בלתי תלויים ו- \ S=X_1+\dots+X_n הסכום, אז \ M_S(t)=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_n}(t). אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז \ M_{S/n}(t)\rightarrow e^{t^2/2}, הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של משפט הגבול המרכזי.