פונקציית צפיפות

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות (Probability density function, בראשי תיבות PDF) של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את צפיפות המשתנה בכל נקודה במרחב המדגם. ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסוים היא האינטגרל של הצפיפות בקטע ולכן המשתנה נוטה יותר לקבל ערכים שבהם הצפיפות גבוהה.

פונקציית צפיפות

משתנה מקרי (אקראי) רציף

פונקציה אינטגרבילית ממשית f נקראת פונקציית צפיפות אם היא חיובית, כלומר גדולה מאפס או שווה לו בכל נקודה, והאינטגרל $\ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx$ שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של משתנה מקרי, על ידי הנוסחה $\ P(a<X<b) = P(a\le X\le b) = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx$. ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability, הסתברות) של המשתנה האקראי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקציית הצפיפות בין a ל-b". מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה אקראי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס $\ P(X=a) = P(a\le X\le a) = \int\limits_a^a f(x)\mathrm dx = 0$.

מאידך, משתנה מקרי $\ X$ שפונקציית ההצטברות שלו $\ F_X(x) = P(X<x) = P(X\le x)$ גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה $\ f(x)\mathrm dx$ בתור ההסתברות לכך ש-$\ X$ ייפול בקטע אינפיניטסימלי $\ [x,x+\mathrm dx]$.

משתנה מקרי (אקראי) בדיד

ניתן לייצג את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרה המקבל אוסף סופי של ערכים בדידים t₁, …, t_n , על ידי על ידי סכום של דלתאות דיראק. במקרה הכללי, תציין כל דלתא ערך בדיד שהמשתנה עשוי לקבל, ותוכפל בהסתברות p₁, …, p_n לקבל ערך זה:

$,f(x) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(x-t_i)$

$.\sum_{i=1}^np_i=1$

לדוגמה, משתנה מקרי בדיד ובינארי, המקבל ערכים $\pm1$ בהסתברות שווה של ½, יתואר על ידי פונקציית הצפיפות:

$.f(x) = \frac{1}{2}\delta(x+1)+\frac{1}{2}\delta(x-1)$

פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום

להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההצטברות שלה $\ F(x)$ פונקציה רציפה בהחלט. במקרה זה $\ F(x)$ גזירה כמעט בכל מקום, והנגזרת $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(x) = f(x)$ יכולה לשמש כפונקציית צפיפות.

שתי פונקציות צפיפות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת לבג ממידה אפס.

שימושים בפונקציית הצפיפות

אם נתון משתנה מקרי $\ X$ בעל פונקציית צפיפות $\ f(x)$, אז ניתן לחשב את התוחלת שלו (אם קיימת) כ-$\operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm dx$. ניתן להכליל משפט זה: המומנט ה-$\ i$ של $\ X$ הוא $\operatorname{E}(X^i)=\int\limits_{-\infty}^\infty x^i\,f(x)\,\mathrm dx$

דוגמאות

• פונקציית הצפיפות של ההתפלגות האחידה בקטע $\ [0,2]$ היא $\ f(x) = \frac{1}{2}$ בקטע, ואפס מחוץ לקטע.

• פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית תקנית (Normal Standard Distribution, כאשר התוחלת 0=μ, וסטיית התקן 1=σ) היא $f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}$.

ראו גם

• הסתברות
• משתנה מקרי
• התפלגות
• פונקציית ההסתברות המצטברת