לדלג לתוכן

פורטל:מתמטיקה/חידה/123

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

< פורטל:מתמטיקה‏ | חידה

שתי פחיות

יצרן משקאות קלים החליט להגדיל את גובה פחיות המשקה שלו ב-25%, בלי לשנות את נפח הפחית. בכמה אחוזים עליו להקטין את קוטר הפחית?

פתרון

נפח של גליל, שרדיוסו

\ r

\ h

, הוא

V=\ \pi r^{2}h

(ובמילים: שטח הבסיס כפול הגובה).

לפי נוסחה זו, הגדלת הגובה $\ h$ ב-25%, כלומר פי $\ 5/4$ , מצריכה הקטנה של $\ r^{2}$ פי $\ 4/5$ , ולכן יש להקטין את הרדיוס $\ r$ פי ${\sqrt {4/5}}$ כלומר פי $\ 0.8944...$ כלומר להקטין את הרדיוס (ובהתאם לכך יקטן גם את הקוטר) ב-10.56%.

חידת המשך:

כיצד השתנתה צריכת האלומיניום הנחוץ לייצור פחית (בהנחה שהפחיות הן גלילים מדויקים, ועובי האלומיניום זהה בכל חלקי הפחית)?

פתרון

נסמן את רדיוס הפחית המקורית ב-

\ r

ואת גובהה ב-

\ h

, ונקבל ששטח הפנים שלה שווה לשטח שני הבסיסים ועוד היקף הבסיס כפול הגובה, כלומר הוא:

A=\ 2\pi r^{2}+2\pi rh

. בעקבות הגדלת גובה הפחית פי

\ 5/4

והקטנת קוטרה פי

\ 4/5

יהיה שטח הפנים שלה:

\ A=8/5\pi r^{2}+10/4\pi rh=1.6\pi r^{2}+2.5\pi rh

.

חידת המשך:

מהו היחס הנדרש בין גובה הפחית לרדיוסה, כדי שצריכת האלומיניום תהיה מזערית?

פתרון

כאמור, שטח הפנים של הפחית שווה לשטח שני הבסיסים ועוד היקף הבסיס כפול הגובה, כלומר הוא:

A=\ 2\pi r^{2}+2\pi rh

. נסמן ב-

\ x

את היחס בין הגובה לרדיוס, כלומר

\ h=xd

, ונקבל ששטח הפנים הוא:

A=\ 2\pi r^{2}+2\pi rxd

. כעת נותר למצוא לאיזה

\ x

נקבל

\ A

מזערי.

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=פורטל:מתמטיקה/חידה/123&oldid=25354203"

קטגוריה:

פורטל:מתמטיקה - חידות גאומטריות