מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא היחס בין הקטע האדום לקטע הירוק. במתמטיקה , קבוע הפרבולה האוניברסלי (המסומן באות P ) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי אשר מוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין המוקד והמדריך[דרושה הבהרה]
P
=
ln
(
1
+
2
)
+
2
=
2.29558714939
…
{\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }
הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי ).
אם נסתכל על פרבולה
y
=
x
2
4
f
{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}
P
:=
1
p
∫
−
ℓ
ℓ
1
+
(
d
y
d
x
)
2
d
x
=
1
2
f
∫
−
2
f
2
f
1
+
x
2
4
f
2
d
x
=
∫
−
1
1
1
+
t
2
d
t
(
x
=
2
f
t
)
=
arcsinh
(
1
)
+
2
=
ln
(
1
+
2
)
+
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\quad (x=2ft)\\&=\operatorname {arcsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}
המדריך של הפרבולה היא
ℓ
=
2
f
{\displaystyle \ell =2f}
p
=
2
f
{\displaystyle p=2f}
קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים
P
−
2
=
ln
(
1
+
2
)
{\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}
e
e
ln
(
1
+
2
)
=
1
+
2
{\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}
משפט לינדמן-ויירשטראס , אז זה אומר שהמספר שורש שתיים פחות אחד הוא מספר טרנסצנדנטי , וזה סתירה. אז על פי זה, קבוע המספר האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי , מכאן הוא גם מספר אי רציונלי .
המספר גם משומש במשפט הבא:
המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:
d
avg
=
P
6
.
{\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}
הוכחה :
d
avg
:=
8
∫
0
1
2
∫
0
x
x
2
+
y
2
d
y
d
x
=
8
∫
0
1
2
1
2
x
2
(
ln
(
1
+
2
)
+
2
)
d
x
=
4
P
∫
0
1
2
x
2
d
x
=
P
6
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}.\end{aligned}}}
