פרבולה

פרבולה

פרבוֹלה (מיוונית - παραβολή) היא צורה גאומטרית, שהיא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה (המוקד) וישר (המדריך) קבועים. אפשר לתאר פרבולה בקואורדינטות קרטזיות אמצעות תבנית ריבועית, כגון המשוואה $\ y = x^2$. הפרבולה היא חתך חרוט, הנוצר על ידי חיתוך של חרוט ומישור בעל אותו שיפוע.

כמו לחתכי חרוט אחרים, לפרבולה יש תכונות גאומטריות ופיזיקליות חשובות. לדוגמא, קרני אור המגיעות במאונך למדריך ופוגעות בפרבולה, מוחזרות כולן אל המוקד. תכונה זו משמשת לריכוז קרני אור בטלסקופים ואנטנות, והיפוכה משמש בפנסים גדולים לפיזור קרני אור היוצאות מהמוקד בכיוון אחיד.

הגדרות וסקירה כללית

גרף המציג את תכונת השיקוף, וכן את נקודת המוקד (כחול) והקו הישר המנחה (ירוק).

ציר הפרבולה הוא ציר שמתחיל מנקודת הקיצון של הפרבולה ויוצר עם הקטע שהוא יורד אליו 90 מעלות

בקואורדינטות קרטזיות, פרבולה עם ציר המקביל לציר y עם נקודת הקיצון $(h^{}_{},k)$, נקודת מוקד $(h^{}_{},k + p)$, והקו הישר המנחה $y^{}_{} = k - p$ מקיימת את המשוואה הבאה -

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

ניתן לאפיין פרבולה גם על ידי חיתוך חרוט עם אקסצנטריות 1. כתוצאה מכך, כל הפרבולות הינן דומות. פרבולה יכולה להתקבל גם כגבול של סדרה של אליפסות כאשר אחד מהמוקדים שלה נשאר קבוע ואת השני מרחיקים באופן שרירותי לכיוון הנגדי. פרבולה היא טרנספורמציה הפיכה של קרדיואיד (עקום דמוי לב).

לפרבולה יש ציר סימטריה של שיקוף אחד בלבד, אשר עובר דרך המוקד ומאונך לישר המנחה. נקודת החיתוך של ציר זה והפרבולה היא נקודת הקיצון ("נקודת השיא") של הפרבולה. אם נסובב את הפרבולה סביב ציר זה בתלת-ממד, נקבל צורה הידועה כפרבולואיד סיבובי.

הפרבולות מהוות פתרון למגוון בעיות פיזיקליות, ולפיכך מצויות במצבים רבים בטבע.

משוואות

קַרְטֶזיות

• ציר סימטריות אנכי:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \quad$

• ציר סימטריות אופקי:

$(y - h)^2 = 4p(x - k) \quad$

• משוואה ריבועית (ציר סימטריות אנכי):

$y = ax^2 + bx + c \,$

כאשר $a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k$ ונקודת הקיצון היא $\left( \frac{-b}{2a},c - \frac {b^2}{4a} \right)$.

• משוואה ריבועית (ציר סימטריות אופקי):

$x = ay^2 + by + c \;$

a, b, ו-c הם כמו לעיל. הקואורדינטות של נקודת הקיצון הן במהופך.

פרמטריות

$x = 2pt + h \,$

$y = pt^2 + k \,$

קואורדינטות קוטביות וסמילאטוס רקטום

בקואורדינטות קוטביות, פרבולה עם מוקד בראשית הצירים, ונקודת הקיצון על החלק השלילי של ציר x, נתונה על ידי המשוואה הבאה:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

כאשר l הוא הסמילאטוס רקטום (מלטינית, חצי-צד בקו ישר): המרחק בין המוקד עד לפרבולה עצמה, הנמדד לאורך קו הניצב לציר. זהו פעמיים המרחק עד לפסגה.

צורה של ממופת-גאוס

צורה ממופת גאוס: $(\tan^2\phi,2\tan\phi)$ עם הניצב $(\cos\phi,\sin\phi)$.

הפרבולה כמקום גאומטרי

פרבולה ומשוואת הפרבולה

בהינתן פרבולה המקבילה לציר הy עם נקודת הקיצון (0,0), הנתונה על ידי המשוואה:

$y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1)$

אז קיימת נקודה $(0,f^{}_{})$ - המוקד - כך שכל נקודה P על הפרבולה תהיה במרחק שווה הן מהמוקד והן מישר הניצב לציר הסימטריה של הפרובלה (הישר המנחה), שבמקרה זה מקביל לציר הx. כיוון שנקודת הקיצון היא אחת מהנקודות P, הרי שמכאן הישר המנחה עובר דרך הנקודה $(0,-f^{}_{})$. לכן לכל נקודה $P^{}_{}=(x,y)$, היא תהיה במרחק שווה מהנקודות $(0,f^{}_{})$ ו-$(x,-f^{}_{})$. אנו רוצים למצוא את הערך של f המקיים את התכונה הזו.

יהי F נקודת המוקד, וQ הנקודה $(x,-f^{}_{})$. מההגדרה, הישר FP שווה באורכו לישר QP.

$\| FP \| = \sqrt{ x^2 + (y - f)^2 },$

$\| QP \| = y + f.$

$\| FP \| = \| QP \|$

$\sqrt{x^2 + (a x^2 - f)^2 } = a x^2 + f \qquad$

נעלה בריבוע את שני האגפים,

$x^2 + (a x^2 - f)^2 = (a x^2 + f)^2 \qquad$

$= a^2 x^4 + f^2 + 2 a x^2 f \quad$

$x^2 + a^2 x^4 + f^2 - 2 a x^2 f = a^2 x^4 + f^2 + 2 a x^2 f \quad$

נצמצם איברים זהים בשני האגפים,

$x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f, \quad$

$x^2 = 4 a x^2 f. \quad$

נחלק את שני האגפים ב$x^2_{}$ (x שונה מאפס לרוב. במידה וכן, ניתן להעביר אגפים ולהוציא אותו מחוץ לסוגריים ולהמשיך משם)

$1 = 4 a f \quad$

$f = {1 \over 4 a }$

עתה נניח כי p=f ואז המשוואה של הפרבולה הופכת ל:

$x^2 = 4 p y \quad$

מש"ל

תכונת השיקוף של המשיק

המשיק לפרבולה מבוטא על ידי המשוואה (1) ויש לו את השיפוע

${dy \over dx} = 2 a x = {2 y \over x}$

קו זה חוצה את ציר y בנקודה $(0,-y)=(0-a\cdot x^2)$, ואת ציר x בנקודה $\left( \frac{x}{2},0\right)$. נקרא לנקודה זו G. נקודה G היא גם נקודת האמצע בין F ל-Q.

$F = (0,f), \quad$

$Q = (x,-f), \quad$

$G = {F + Q \over 2} = {(0,f) + (x,-f) \over 2} = {(x,0) \over 2} = \left({x \over 2}, 0\right).$

כיוון ש-G היא נקודת האמצע של הישר FQ, הרי שמכאן נובע:

$\| FG \| \cong \| GQ \|,$

וידוע כבר כי שP נמצא במרחק שווה מF ו-Q:

$\| PF \| \cong \| PQ \|,$

ושלישית, הישר GP שווה לעצמו, לכן:

$\Delta FGP \cong \Delta QGP$

מכאן נובע כי: $\angle FPG \cong \angle GPQ$.

את הישר QP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה T כלשהי, ואת הישר GP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה R כלשהי. לכן $\angle RPT$ ו-$\angle GPQ$ הן זוויות קודקודיות, כלומר הן שוות. אולם $\angle GPQ$ שווה ל $\angle FPG$. לכן $\angle RPT$ שווה ל $\angle FPQ$.

הישר RG משיק לפרבולה בנקודה P, לכן כל אלומת אור המוחזרת מנקודה P תתנהג כאילו הקו RG הוא מראה, ולכן האלומה תשוקף על ידי מראה זו.

נניח כי אלומת אור נעה על הקו האנכי TP , ומוחזרת מנקודה P. זווית הנטייה של הקרן אור מהמראה היא $\angle RPT$, לכן כאשר הקרן מוחזרת, זווית ההחזרה חייבת להיות שווה $\angle RPT$. אולם הראינו כי $\angle FPG$ שווה ל $\angle RPT$. לכן האלומה מוחזרת לאורך הישר FP היישר אל המוקד.

מסקנה: כל אלומת אור הנעה אנכית כלפי מטה בשקערורית של הפרבולה (במקביל לציר הסימטריה), תוחזר מהפרבולה היישר לכיוון המוקד. תכונה זו משמשת בבניית מחזיר-אור פרבולי.

פרבולות בעולם הפיזיקלי

בטבע, ניתן למצוא קירובים של פרבולות ופרבולואידים בסביבות רבות ומגוונות. הדוגמה הידועה ביותר להימצאות הפרבולה בהיסטוריה של הפיזיקה היא המסלול של חלקיק או של גוף בתנועה תחת השפעה של שדה כבידה אחיד ללא התנגדות אוויר (למשל, כדור שעף באוויר ללא כוחות מניעים ובהזנחת חיכוך האוויר). המסלול הפרבולי של גופים התגלה בניסויים של גלילאו בתחילת המאה ה־17, כאשר ביצע ניסויים עם כדורים המתגלגלים על מישורים משופעים. מאוחר יותר, נכונוּת הצורה הפרבולית של המסלולים הוכחה על ידי אייזק ניוטון. לעצמים לא־נקודתיים (כגון שחיין הקופץ ממקפצה לבריכה), העצם עצמו יכול לבצע תנועה מורכבת של תנועות עצמיות כגון סיבובים או רטט, אך מרכז המסה של העצם יבצע מסלול פרבולי בכל זאת. באופן כללי, כל המסלולים הללו הן קירוב של פרבולה; נוכחות התנגדות האוויר תמיד מעוותת את הצורה של המסלול, למשל, אולם במהירויות נמוכות, הצורה מהווה קירוב טוב לפרבולה. במהירויות גבוהות יותר, כמו בבליסטיקה, הצורה מעוותת מאד, ולא מזכירה כלל פרבולה.

צורה פרבולית הנוצרת על פני השטח של נוזל תחת סיבוב

מצב אחר שבו פרבולה יכולה להופיע בטבע הוא בתנועות של גרמי שמים זה סביב זה, כלומר תנועה של כוכב־לכת או עצם אחר תחת השפעה של כוח הכבידה של השמש. המסלולים הפרבוליים הם מקרים מאוד מיוחדים בטבע; מסלולים אשר יוצרים היפרבולה או אליפסה נפוצים הרבה יותר. למעשה, המסלול הפרבולי הוא מקרה גבולי בין שני הסוגים הללו של מסלולים.

ניתן למצוא קירובים של פרבולות גם בצורה של הכבלים בגשרים תלויים. כבלים התלויים בחופשיות לא מתארים פרבולות אלא יותר עקומים קטנריים. אולם, תחת ההשפעה של עומס אחיד (לדוגמה, הסיפון של הגשר), צורת הכבלים מעוותת לכמעט פרבולה.

כמו כן, גם פָּרַבּוֹלוֹאידים מופיעים במספר מצבים פיזיקליים. הדוגמה הידועה ביותר היא מחזיר-אור פרבולי, העשוי ממראה או מתקן מחזיר אור אחר אשר מְרַכז אור או צורות אחרות של קרינה אלקטרומגנטית לנקודת מוקד משותפת. על פי האגדה, העיקרון של מחזיר־האור הפרבולי התגלה על ידי ארכימדס במאה ה־3, אשר בנה מראות פרבוליות כדי להגן על סירקוסאי שבסיציליה מפני הצי הרומאי, על ידי ריכוז קרני האור כדי להעלות באש את הספינות הרומיות. אלא שכיום ידוע שסיפור זה, שהופיע לראשונה בכתב במאה ה-8, אין בו ממש. העיקרון יושם גם בטלסקופים במאה ה־17. היום, ניתן למצוא מחזירי־אור פרבוליים בטלסקופים מבוססי מראות, במיקרוגל וצלחות אנטנה של הלוויין ותחנות כח תרמו-סולאריות המבוססות על קשתות פרבוליות.

ניתן למצוא את צורת הפרבולואיד גם בפני השטח של נוזל הנמצא במְכָל ומסובב סביב הציר המרכזי. במקרה זה, הכוח הצנטריפוגלי (כוח מדומה), גורם לפני השטח של הנוזל לעלות על הקירות של המכל תוך כדי קבלת צורה של משטח פרבולואידי.

בניית פרבולה

ניתן לבנות פרבולה מצורה גאומטרית בדרך הבאה: ציירו נקודת מוקד F, נקודת קיצון (נקודת השיא של הפרבולה), ישר מנחה q, וקו ישר r העובר דרך נקודת הקיצון ומקביל לישר q. בחרו נקודה Q₁ על הישר המנחה. ציירו את הקו הישר FQ₁ אשר חוצה את הישר r בנקודה R₁. קו ישר העובר דרך R₁ ומאונך לישר FQ₁ יחתוך קו אחר אשר עובר דרך Q₁ ומאונך לישר q בנקודה P₁. הנקודה P₁ היא על הפרבולה והקו R₁P₁ משיק לפרבולה. בחרו נקודה נוספת Q₂ על הישר המנחה q וחזרו על הצעדים לפי התבנית לעיל כדי לקבל את הנקודה P₂. המשיכו עם הנקודות $Q_3, P_3, Q_4, P_4, Q_5, P_5$, וכו'. אם הנקודות $Q_1, Q_2, Q_3, ...$ היו משורטטות ברצף, הרי שאת הנקודות $P_1, P_2, P_3 ...$ אפשר היה לשרטט ברצף ולקבל את הפרבולה.

ראו גם

• פרבולואיד
• קו השרשרת

קישורים חיצוניים

• פרבולה, באתר MathWorld (באנגלית)
• ד"ר ארליך - על תכונה מיוחדת של פרבולה

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: הפרבולה