קופינליות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, הקופינליות או סופיות של סדר חלקי A היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה חוסמת (קופינלית) של A. עוצמה זו מייצגת עד כמה הסדר קל לכיסוי.

ההגדרה הכללית של מושג הקופינליות תלויה בהנחה שלכל אוסף של עוצמות יש מינימום, ששקולה לאקסיומת הבחירה, אך בדרך כלל נשתמש במושג בקבוצות סדורות היטב, כך שלא נהיה חייבים להניח את אקסיומת הבחירה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור קבוצה סדורה חלקית A, נאמר כי תת-קבוצה B היא קופינלית ב-A אם לכל איבר מ-A יש איבר מ-B שגדול (או שווה) אליו. הקופינליות של A היא:

\mbox{cf} (A) = \min\{ |B| : B \subset A , \forall a\in A \exists b \in B\,\,  a \le b\}

אם A סדור קווית אז B היא קופינלית אם היא לא חסומה, ולכן אנחנו שואלים מה גודל הקבוצה הלא-חסומה המינימלית ב-A.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • \mbox{cf}(\mathbb{R}) = \mbox{cf}(\mathbb{N}) = \aleph_0
  • אם \alpha סודר אז \mbox{cf}(\alpha + 1) = 1 כי הקבוצה \{\alpha\} היא קבוצה קופינלית.
  • בהנחת אקסיומת הבחירה - \mbox{cf}(\aleph_1) = \aleph_1. הסיבה לכך היא שאחרת היה אוסף בן מנייה של סודרים בני מנייה קופינלי (כלומר לא חסום) בקבוצת כל הסודרים בני המנייה. איחודם היה בן מנייה, ומהווה דוגמה נגדית לקופינליות שלהם, כיוון שהוא גדול מכולם. באותו אופן, \mbox{cf}(\lambda^{+}) = \lambda^{+}, לכל מונה \lambda.

נעיר כי משפט קניג גוררת ש-\mbox{cf}(2^{\aleph_0}) > \aleph_0 מה שמדגים את העובדה שהקופינליות תלויה בעיקר בסדר הנבחר ולא בעוצמת הקבוצה.

מונה סדיר וחריג[עריכת קוד מקור | עריכה]

מונה נקרא סדיר (רגולרי) אם הוא שווה לקופינאליות של עצמו, אחרת הוא נקרא חריג (סינגולרי). למשל, \aleph_0 הוא מונה סדיר כי כל סדרה לא חסומה בו היא בהכרח אינסופית. כמו כן, בהנחת אקסיומת הבחירה, כל מונה עוקב הוא סדיר. לעומת זאת, המונה הגבולי \aleph_\omega הוא חריג כי הסדרה \aleph_0, \aleph_1, \dots ,\aleph_n,\dots היא קופינלית בו ומעוצמה \aleph_0 בלבד.

הקופינליות של כל סודר היא מונה סדיר, כלומר \mbox{cf}(\mbox{cf}(\alpha)) = \mbox{cf}(\alpha).