מספר סודר

ערך זה עוסק במונח במתמטיקה. אם התכוונתם לדיון לשוני במונח זה, ראו שם המספר.

במתמטיקה, ובעיקר בתורת הקבוצות, מספרים סודרים (או בקיצור סודרים) הם מספרים שנועדו לציין מיקום איבר בסדרה: ראשון, שני, שלישי, רביעי וכן הלאה. המתמטיקאי גאורג קנטור הראה בשנת 1897 כיצד להרחיב רעיון זה מן המספרים הטבעיים, הלאה, לאינסוף, וכיצד לבצע חישובים מתמטיים בסודרים אינסופיים אלו.

מספר טבעי יכול לשמש לשתי מטרות: תאור גודלה של קבוצה, או ציון מיקומו של איבר בסדרה. בעוד שבמושגים סופיים שני מושגים אלו חופפים, הרי כאשר מדובר בקבוצות אינסופיות יש להבחין בין השניים. ההיבט הכמותי מוביל למושג העוצמה, שגם הוא פותח על ידי קנטור, בעוד שהיבט המיקום מיושם על ידי מספרים סודרים, כפי המתואר כאן.

מספר טבעי n יוגדר להיות קבוצת כל המספרים הקטנים ממנו (זו הגדרה שנתן ג'ון פון נוימן בשנת 1923):

0 = ∅ (הקבוצה הריקה)

1 = {0} = { ∅ }

2 = {0,1} = { ∅, { ∅ } }

3 = {0,1,2} = {∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } }}

4 = {0,1,2,3} = { ∅ , { ∅ }, { ∅, { ∅ } } , {∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } }} }

$\ n+1 = n\cup \left\{n\right\}$

וכן הלאה.

בדרך זו, כל מספר טבעי הוא קבוצה סדורה היטב עם יחס הסדר $\in$. המספר 4 למשל מכיל בתוכו את המספרים 0,1,2,3 המקיימים 3>2>1>0 כי $0\in1\in2\in3$. מספר טבעי קטן ממספר טבעי אחר אם ורק אם הוא איבר שלו: $\forall a,b\in\mathbb{N}, a<b \Leftrightarrow a\in b$.

איננו רוצים להבדיל בין שתי קבוצות סדורות היטב אם הן נבדלות אך ורק בסימון איבריהן. בשפה פורמלית יותר נאמר כי אם ניתן לזווג כל שני איברים משתי הקבוצות השונות על ידי התאמה חד-חד ערכית בצורה כזו שאם איבר אחד גדול מאחר בקבוצה הראשונה, אזי האיבר המתאים לאחד גדול מהאיבר המתאים לאחר בקבוצה השנייה ולהיפך, נאמר כי התאמה זו היא איזומורפיזם סדר.

עם מוסכמה זו ניתן להראות ש:

• כל קבוצה סופית סדורה היטב היא איזומורפית למספר טבעי אחד ויחיד.
• כל שני סודרים ניתנים להשוואה: או שהם זהים (איזומורפיים), או שאחד מהם הוא רישא של השני.
• יתרה מכך, ההשוואה הנ"ל מגדירה בעצמה סדר טוב על כל קבוצה של סודרים.

מהתוצאה האחרונה נובע הפרדוקס של בורלי פורטי: קבוצת המספרים הסודרים סדורה היטב, כלומר שייכת לעצמה, ולכן לפי הגדרת המספרים הסודרים גדולה מעצמה. משום כך לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל הפרדוקס של ראסל לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות".

מספר סודר 0<a נקרא סודר עוקב אם a=b+1 עבור b כלשהו, ואחרת הוא נקרא סודר גבולי.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: סוֹדֵר

• בעז צבאן, החלום של קנטור, המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב, אוניברסיטת בר-אילן.
• גדי אלכסנדרוביץ', איך קנטור המציא את הסודרים?, באתר "לא מדויק"

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • קבוצת החזקה • מכפלה קרטזית • יחס • יחס שקילות • פונקציה • עוצמה • קבוצה בת מנייה • האלכסון של קנטור • משפט קנטור שרדר ברנשטיין • השערת הרצף • הפרדוקס של ראסל • סדר חלקי • מספר סודר • הלמה של צורן • אקסיומת הבחירה