חוג שבת (אלגברה)

בתורת החוגים, חוּג הַשֶּבֶת של חוג תחת פעולת חבורה, הוא אוסף האיברים הנשמרים תחת הפעולה. החוג נקרא לעיתים גם חוג האינווריאנטים או חוג האיברים הסימטריים (תחת פעולת החבורה).

מבנה זה בא לידי שימוש במיוחד במשפט היסודי של תורת גלואה, ונותן אפיון נוסף לחבורת גלואה. ההגדרה משמשת גם בתורת האינווריאנטים, במחקר פעולה של חבורות על יריעות אלגבריות.

הגדרה ותכונות

בהינתן חוג $R$ וחבורה $G$ הפועלת על החוג, חוג השבת של $R$ תחת פעולת $G$, המסומן $R^{G}$, הוא אוסף האיברים הנשמרים על ידי הפעולה, כלומר:

$$R^{G}=\{r\in R:\forall g\in G:g\cdot r=r\}$$

כפי שנרמז בשם, אוסף איברים זה הוא אכן תת-חוג של החוג המקורי. תכונות רבות שהחוג מקיים יועברו גם לחוג שבת שלו: למשל, אם המבנה המקורי $R$ הוא שדה, גם חוג השבת שלו, הנקרא שדה השבת, הוא שדה.

הבעיה הארבע-עשרה של הילברט עוסקת בנוצרותו הסופית של חוג השבת במקרים מסוימים.

יישומים

בתורת גלואה

ערך מורחב – המשפט היסודי של תורת גלואה

להגדרה לעיל חשיבות מיוחדת בתורת גלואה: בהינתן הרחבת שדות $E/F$, משפט של אמיל ארטין קובע כי אם קיימת חבורה כלשהי $G$ הפועלת על $E$, כך ש-$E^{G}=F$ אז בהכרח $G\cong \operatorname {Gal} (E/F)$ וההרחבה הנה הרחבת גלואה. לעיתים הרחבת גלואה אף מוגדרת על פי תנאי זה.

בתורת האינווריאנטים

ההגדרה מיושמת גם בתורת האינווריאנטים, החוקרת פעולות של חבורות על יריעות אלגבריות. הדוגמה הבסיסית ביותר היא חוג השבת של חוג הפולינומים $R[x_{1},...,x_{n}]$ תחת החבורה הסימטרית $S_{n}$, אשר שווה לחוג הפולינומים הסימטריים. בתחום זה חוקרים את חוג השבת תחת פעולות של חבורות על יריעות אלגבריות, ומנסים להבין את המבנה והתכונות שלו.