תלות (הסתברות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תלות (סטטיסטיקה))
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה על התרחשותו של אחד מהם אינה משנה את ההסתברות לשני. מאורעות שאינם בלתי תלויים, הם תלויים.

במלים אחרות, מאורעות הם בלתי תלויים אם ורק אם ההסתברות לכך ששניהם יקרו שווה למכפלת ההסתברויות שכל אחד מהם יקרה בנפרד: \ P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B).

לדוגמה, בשתי הטלות מטבע רצופות, המאורעות 'המטבע יפול על עץ בפעם הראשונה' ו'המטבע יפול על עץ בפעם השנייה' הם בלתי תלויים. לעומת זאת, בהינתן תיבה ובה 2 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים, המאורעות 'הוצאת כדור בפעם הראשונה' (ללא החזרה) ו'הוצאת כדור בפעם השנייה' הם תלויים מכיוון שאם בפעם הראשונה יצא כדור אדום, ההסתברות שבהוצאה השנייה יצא כדור כחול, עולה, ולהיפך.

באופן דומה, שני משתנים מקריים \ X ו- \ Y הם בלתי תלויים אם ידיעת ערכו של \ Y אינה משנה את ההתפלגות של \ X: לכל ערך אפשרי של \ Y, למשתנה המותנה \ X|Y=a יש אותה התפלגות כמו ל-\ X. אם שני משתנים מקריים הם בלתי תלויים, אז התוחלת של המכפלה שלהם שווה למכפלת התוחלות: \ E(XY) =E(X)E(Y). במקרה כזה אומרים שהמשתנים בלתי מתואמים. משתנים בלתי תלויים הם בלתי מתואמים, אבל ההיפך אינו נכון. מהשוויון עבור התוחלות נובע גם שעבור שני משתנים בלתי תלויים (או בלתי מתואמים), השונויות מקיימות \ V(X+Y)=V(X)+V(Y).

למונח התלות בסטטיסטיקה אין קשר ישיר לתלות לינארית.

תלות משותפת[עריכת קוד מקור | עריכה]

המושג 'תלות' יכול לחול גם על כמה משתנים בעת ובעונה אחת. אומרים שהמשתנים \ X_1,\dots,X_n הם בלתי תלויים במשותף אם ידיעת הערכים של כל \ n-1 מהם אינה משפיעה על ההתפלגות של האחרון. בתורת האמידה מקובל להניח שהמשתנים שעלו במדגם הם בלתי תלויים במשותף.

מתכונה זו נובע שכל תת-קבוצה של המשתנים גם היא בלתי תלויה. לדוגמה, אם \ X,Y,Z בלתי תלויים במשותף, אז כל אחד מן הזוגות \ X,Z, \ X,Y ו- \ Y,Z הם בלתי תלויים. לעומת זאת, מן העובדה שהמשתנים בכל זוג בלתי תלויים, לא נובע שהשלושה בלתי תלויים במשותף. בפרט, מן העובדה ש- X ו- Y בלתי תלויים לא נובע שהמשתנים המותנים \ X|Z ו- \ Y|Z בלתי תלויים.

דוגמה: X ו- Y הם שני משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה חצי, ו- \ Z=X+Y \pmod{2}. במקרה זה כל שני משתנים בלתי תלויים, אבל ידיעת הערכים של כל שניים מהם קובעת באופן חד משמעי את השלישי (ולכן השלשה אינה בלתי תלויה במשותף). כמו כן, המשתנים המותנים \ X|Z ו- \ Y|Z הם תלויים (שווים זה לזה כאשר \ Z=0, והפוכים זה לזה אחרת).

אי-תלות במשותף היא תכונה חזקה באופן יחסי. אם שלושה משתנים X,Y,Z הם בלתי תלויים במשותף, אז גם המשתנים המותנים \ X|Z ו- \ Y|Z בלתי תלויים. ההיפך אינו נכון; יתרה מזו, הדוגמה הבאה מראה שאפילו אם המשתנים המותנים \ X|Z ו- \ Y|Z בלתי תלויים לכל ערך של Z, לא נובע מכאן ש- X,Y עצמם בלתי תלויים.

דוגמה. המשתנים \ X,Y,Z מקבלים את הערכים 0 או 1. אם \ Z=0 אז \ X ו- \ Y משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה שליש, ואם \ Z=1 אז הם משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה חצי. עם זאת, המשתנים \ X ו- \ Y תלויים (ובלבד ש- \ 0<P(Z=0)<1).