אוטומט סופי דטרמיניסטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החישוביות, אוטומט סופי דטרמיניסטי (להלן: אס"ד) הוא מודל מתמטי, המגדיר שפה פורמלית. המודל מורכב מאוסף סופי של מצבים וכְלָלֵי מַעֲבַר ביניהם. בהינתן קלט, הבנוי מסדרה של סמלים (סימנים) מתוך א"ב (אוסף כל הסימנים האפשריים) ידוע, מתבצע מעבר סדרתי על הסמלים, ובהתאם, מתבצעים מעברים בין מצבי האוטומט – אחד עבור כל סמל. המצב ההתחלתי ידוע מראש וכל מעבר מוגדר באופן חד-ערכי ויחיד ("דטרמיניסטי") על פי הסמל הבא שנקרא. כאשר נקראים כל הסמלים שבקלט, מתבצעת בדיקה של סוג המצב בו נמצא האוטמט (המצב האחרון שאליו הגיע). אם מדובר ב"מצב מקבל", הקלט נחשב כ"מילה בשפה" של האוטומט, אחרת, הוא נחשב כמילה שאיננה שייכת לשפת האוטומט.

קבוצת כל השפות הפורמליות, המוגדרות על ידי אס"ד-ים, מכונה קבוצת השפות הרגולריות.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אס"ד \ A מוגדר להיות החמישייה הסדורה הבאה:

A=(\Sigma, Q, q_0, F, \delta)

כאשר:

  • \ \Sigma היא (קבוצת) א"ב הקלט. כל איבר בקבוצה זו מכונה "אות".
  • \ Q היא קבוצה סופית של מצבים. כל מצב בקבוצה זו הוא, בהכרח, בדיוק אחד מהשניים: "מצב מקבל" או "מצב לא מקבל".
  • \ q_0 הוא המצב ההתחלתי של האס"ד (ממנו מתחיל החישוב), \ q_0\isin Q .
  • \ F היא קבוצת מצבים מקבלים, \ F\subseteq Q. מצב מקבל הוא מצב שמסמן שהאוטומט מחזיר תשובה חיובית. כלומר: אם בסוף הקלט האוטומט נמצא במצב מקבל, זה אומר שהקלט הוא מילה בשפה של האס"ד.
  • \ \delta היא פונקציית המעברים, \ \delta:\Sigma\times Q\rarr Q (לכל מצב ואות קלט מותאם מצב אחד ויחיד, ולכן, אוטומט זה נקרא דטרמיניסטי).

אופן פעולת האוטומט[עריכת קוד מקור | עריכה]

האס"ד קורא את מילת הקלט (סדרת האותיות) תוך כדי מעבר בין מצביו השונים (בהתאם לפונקציית המעברים), ובסיום קריאת המילה, קובע האם היא שייכת לשפה, לפי סוג המצב אליו הגיע:

1. האס"ד מתחיל את פעולתו במצב \ q_0 ומקבל מילת קלט (סופית או ריקה ("מילה ריקה" היא מילה עם 0 אותיות)).

2. האס"ד בודק האם קיימות אותיות במילה:

  • 2א. אם נותרו אותיות נוספות, האס"ד קורא את האות הבאה בסדרה (אות אחת בלבד), עובר למצב חדש, לפי פונקציית המעברים, ובודק שוב אם קיימות אותיות נוספות במילה, שלא נקראו (חוזר לשלב 2).
  • 2ב. אם לא נותרו אותיות נוספות לקריאה, האס"ד יסיים את פעולתו:
    • 2ב1. אם האוטומט נעצר (הגיע) במצב מקבל, המילה תתקבל.
    • 2ב2. אחרת, המילה לא תתקבל.

דוגמאות לאוטומטים סופיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוטומט המקבל מילים המכילות מספר זוגי של אפסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן באוטומט A=\left\{\Sigma, Q, q_0, F, \delta\right\} המוגדר כך:

1 0 \delta
\ q_0 \ q_1 \ q_0
\ q_1 \ q_0 \ q_1

אס"ד זה ניתן להצגה גם כגרף המכוון הבא:

Even Number of Zeros DFA.png

כאשר:

  • כל מעגל מייצג מצב (שמו הייחודי רשום במרכזו), ומעגל כפול מייצג מצב מקבל (מעגל בודד מייצג מצב לא מקבל).
  • כל קשת בין שני מצבים מייצגת מעבר בין שני המצבים (בהתאם לכיוון החץ) והאות שרשומה עליה מייצגת את אות הקלט, שבעת קריאתה, יתבצע המעבר (רק אם אנו נמצאים כרגע במצב שממנו יוצא חץ זה, ובהתאם לכיוונו, כמובן).

ניתן לראות שאס"ד זה עובר ממצב אחד לאחר רק בעת קריאת \ 0, וקל לראות (או להוכיח באינדוקציה), שמילה תתקבל אם ורק אם מספר המופעים של \ 0 בה יהיה זוגי.

אוטומט המקבל מילים המתחילות ברצף 101[עריכת קוד מקור | עריכה]

המצב המקבל היחיד הוא Q4 (בירוק), ורק אם הגענו אליו, כל אות נוספת כלשהי שתוקלד/תיקרא לא תשפיע על קביעת האוטומט הסופית בנוגע לשייכות (או אי-שייכות) המילה לשפה, ונישאר באותו מצב – לכן, מתבצע מעבר לולאתי ממצב זה לעצמו, בין אם מגיעה האות \ 0 ובין אם מגיעה האות \ 1 (כל אותיות ה-א"ב). המצב Q5 ׁ(בסגול) מכונה "מצב מלכודת" (כי לא ניתן לצאת ממנו)‏[1] (קרוי גם "מצב סופג"), הזוכר כי הקלט אינו עונה על הציפייה; כלומר, הקלט אינו פותח ברצף "101", ולכן, קליטת אות א"ב נוספת כלשהי אינה משנה דבר.

האוטומט המוצג באיור דואג לכך, שמילות הקלט שיעברו דרכו יתחילו ברצף "101". א"ב האוטומט הן הספרות 0 ו-1, המצב המקבל הוא מצב Q4 (מיוצג על ידי עיגול כפול), המצב ההתחלתי (המצב שבו מתחיל האוטומט; כלומר, לפני שנקלטה אות כלשהי) הוא המצב Q1, ו-Q5 הוא "מצב מלכודת". אם אוטומט זה היה מופעל על ידי מחשב פרימיטיבי בעל מקלדת עם הכפתורים 0 ו-1 בלבד ונורה המציינת אם הקלט חוקי (בשפה) או לא, האוטומט היה מתחיל במצב Q1 והנורה הייתה כבויה. אם המשתמש היה מקליד את המחרוזת "000", או "100" בהתחלה, קריאה נוספת של כל אות הייתה גורמת למילה (הקלט) לא להיקלט על ידי האוטומט, מאחר שהוא היה מגיע למצב המלכודת Q5. מאידך, אם המשתמש היה מקיש בהתחלה את המחרוזת "101", הנורה הייתה נדלקת, כאינדיקציה לכך שהמילה חוקית (בשפה). קריאת אות נוספת (הקשה על הכפתורים 0 או 1 על ידי המשתמש) לא הייתה משנה עובדה זו, והנורה הייתה ממשיכה לדלוק. כל עוד נמצאים במצב שאינו Q4, הנורה כבויה. רק במצב Q4 הנורה דולקת.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ גם מצב Q4 עונה על הגדרה זו, אך מכיוון שהוא מצב מקבל, הוא מכוּנה "מלכודת מקבלת" או "מצב מלכודת מקבל".