אולואיד

התרשים מציג חלק מהקווים היוצרים של פני השטח של האולואיד, שהם הקמור של המבנה השלדי שלו.

המבנה השלדי של האולואיד. שתי גזרות העיגול המרכיבות את השלד מסומנות בירוק.

אולואיד הוא גוף גאומטרי תלת-ממדי חד-פאתי, שפני השטח שלו הם הקמור של שני מעגלים חופפים הנמצאים בשני מישורים מאונכים זה לזה, כך שכל אחד מהם מכיל את מרכזו של השני. האולואיד הוא גוף הקטעים הראשון שהתגלה. גילה אותו פול שץ שרשם עליו פטנט בשווייץ, בשנת 1929.

תכונות וערכים גאומטריים

ייחודם של גופי הקטעים, ושל האולואיד בתוך כך, הוא בהיותם גופים חד פאתיים פריסים. בשונה מגופים שהם חד-פאתיים, אך אינם פריסים, כמו הכדור או הטורוס, ובשונה מגופים שהם פריסים אך מרובי פאות כמו הפאונים למיניהם, פני השטח של האולואיד הם חד-פאתיים ופריסים כאחד. שטח הפנים של האולואיד נתון בנוסחה:

$\!A=4\pi r^{2}$

r הוא רדיוס גזרות העיגול של המבנה השלדי. שטח הפנים של האולואיד זהה לשטח הפנים של כדור בעל אותו רדיוס. לא נמצאה עדיין הדרך לחשב את נפחו באמצעות פונקציות אלמנטריות. גאומטריה חישובית נותנת את הקירוב הבא:

$\!V\approx 3.0524184684r^{3}$

תכונות קינמטיות

העובדה שפני השטח של האולואיד הם פריסים וחד-פאתיים, מעניקה לו תכונה, שהיא ייחודית לו, ולגופי הקטעים האחרים, והיא, שבשעה שהוא מתגלגל על פני משטח ישר, כל אחת מהנקודות שעל פני השטח שלו באה במגע עם המשטח. פועל יוצא מכך הוא, שהעיקבה שמותיר אחריו האולואיד במהלך מחזור גלגול אחד זהה בצורתה לפריסה שלו. במהלך תנועת הגלגול, מתווה מרכז הכובד של האולואיד מסלול עקלתון, אשר בממוצע הוא קו ישר. במהלך התנועה, מרכז הכובד של האולואיד אינו שומר על מרחק קבוע מהמשטח עליו הוא מתגלגל. הפרש הגבהים בין נקודות המינימום והמקסימום נתון בנוסחה:

$\Delta h=r\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}}\right)\approx 0.0576r$

הפרש גבהים זה גורם לכך שתנועת האולואיד אינה חלקה לחלוטין.

שימושי האולואיד

האולואיד משמש רכיב מרכזי במנגנונים המשמשים לערבול כמה סוגי נוזלים לכדי תערובת הומוגנית ככל האפשר. תכונה זאת קשורה ליכולתו הייחודית של האולואיד לפרוס את כל המעטפת שלו כאשר הוא מתגלגל על מישור. אודות לתכונה זאת, האולואיד מסתובב ומשנה את האוריינטציה שלו בתבנית סיבוב ייחודית ומורכבת בעודו מתגלגל על מישור. כאשר מייצבים את האולואיד במקומו תוך כדי השרייתו בנוזל, ומסובבים אותו בתבנית שמחקה את סיבובו כאשר הוא מתגלגל על מישור (זאת באמצעות מנגנון תמסורת תנועה מורכב למדי), אז הוא יכול לשמש כמחולל ערבול יעיל למדי של תערובת נוזלים, בדיוק בגלל יכולתו "לא להחמיץ" אף נקודה על מעטפתו - מה שמוביל ליצירת תבנית זרימה מורכבת וריתמית של הזורם המערבלת את החומרים באופן יעיל.

משפחת האולואידים

גילוי האולואיד הביא לגילוי קבוצה של גופים נוספים שיש להם תכונות קינמטיות וגאומטריות דומות. הקבוצה שנקראת גופי גלילה דו-דיסקתיים (Two-disk rollers) כוללת גופים, שהמבנה השלדי שלהם בנוי מזוג אליפסות, או עיגולים, חופפים הנמצאים במישורים מאונכים זה לזה, באופן שהצירים שלהם או הקטרים שלהם נמצאים על קו ישר אחד. המרחק בין מרכזי האליפסות, או המעגלים, משפיע על אופי תנועתם. כך למשל, גוף גלילה דו-דיסקתי, שהמרחק בין מרכזי מעגלי המבנה השלדי שלו הוא ${\sqrt {2}}r$, מתאפיין בכך, שבניגוד לאולואיד, בזמן גלגול, הוא שומר על גובה מרכז כובד קבוע, ולכן תנועתו חלקה. גופי גלילה, שהמבנה השלדי שלהם מבוסס על אליפסות נקראים אליפסולואידים, (אליפסה ואולואיד). גם בקבוצה זו ניתן למצוא גופים שתנועתם חלקה. כמו האולואיד, פני השטח של כל הגופים, שהמבנה השלדי שלהם מבוסס על עיגולים, או אליפסות, מאונכים זה לזה, מוגדרים על ידי הקמור של מבנה זה. קבוצת גופים זו, ביחד עם קבוצת הספריקונים, מרכיבה את קבוצת הגופים הפריסים, החד-פאתיים, הידועים כיום.

הספריקון ומשפחת הספריקונים

השוואה בין ספריקון (מימין) לאולואיד (משמאל) – פתחו כאן, יש לעבור על התמונה על מנת לסובב את הגופים.

הספריקון (sphericon) הוא הגוף הפריס החד-פאתי הראשון שהתגלה, שהגדרתו אינה מבוססת על מושג הקמור. המבנה של הספריקון, ושל כלל הגופים הנמנים עם קבוצת הספריקונים, הנקראת על שמו, נגזר מגופי סיבוב, שצורת החתך שלהם היא מצולע משוכלל. בניגוד לאולואיד, תנועת הגלגול של הספריקון היא חלקה, וכל הערכים הגאומטריים והקינמטיים שלו, כמו של יתר הגופים בקבוצה, ניתנים לחישוב ישיר, מדויק ופשוט.

ראו גם

• אולואיד, באתר MathWorld

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אולואיד בוויקישיתוף

• אולואיד, באתר MathWorld (באנגלית)