אולואיד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
התרשים מציג חלק מהקווים היוצרים של פני השטח של האולואיד, שהם הקמור של המבנה השלדי שלו.
המבנה השלדי של האולואיד. שתי גזרות העיגול המרכיבות את השלד מסומנות בירוק.

אולואיד הוא גוף גאומטרי תלת-ממדי חד-פאתי[1], שפני השטח שלו הם הקמור של שני מעגלים חופפים הנמצאים בשני מישורים מאונכים זה לזה, כך שכל אחד מהם מכיל את מרכזו של השני[2]. האולואיד הוא גוף הקטעים[3] הראשון שהתגלה. גילה אותו פול שץ שרשם עליו פטנט בשווייץ, בשנת 1929.

תכונות וערכים גאומטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ייחודם של גופי הקטעים, ושל האולואיד בתוך כך, הוא בהיותם גופים חד פאתיים פריסים. בשונה מגופים שהם חד-פאתיים, אך אינם פריסים, כמו הכדור או הטורוס, ובשונה מגופים שהם פריסים אך מרובי פאות כמו הפאונים למיניהם, פני השטח של האולואיד הם חד-פאתיים ופריסים כאחד. שטח הפנים של האולואיד נתון בנוסחה[4]:

r הוא רדיוס גזרות העיגול של המבנה השלדי. שטח הפנים של האולואיד זהה לשטח הפנים של כדור בעל אותו רדיוס. לא נמצאה עדיין הדרך לחשב את נפחו באמצעות פונקציות אלמנטריות. אנליזה נומרית נותנת את הקירוב הבא:

תכונות קינמטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

העובדה שפני השטח של האולואיד הם פריסים וחד-פאתיים, מעניקה לו תכונה, שהיא ייחודית לו, ולגופי הקטעים האחרים, והיא, שבשעה שהוא מתגלגל על פני משטח ישר, כל אחת מהנקודות שעל פני השטח שלו באה במגע עם המשטח. פועל יוצא מכך הוא, שהעיקבה שמותיר אחריו האולואיד במהלך מחזור גלגול אחד זהה בצורתה לפריסה שלו. במהלך תנועת הגלגול, מתווה מרכז הכובד של האולואיד מסלול עקלתון, אשר בממוצע הוא קו ישר. במהלך התנועה, מרכז הכובד של האולואיד אינו שומר על מרחק קבוע מהמשטח עליו הוא מתגלגל. הפרש הגבהים בין נקודות המינימום והמקסימום נתון בנוסחה:

הפרש גבהים זה גורם לכך שתנועת האולואיד אינה חלקה לחלוטין.

משפחת האולואידים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גילוי האולואיד הביא לגילוי קבוצה של גופים נוספים שיש להם תכונות קינמטיות וגאומטריות דומות. הקבוצה שנקראת גופי גלילה דו-דיסקתיים (Two-disk rollers) כוללת גופים, שהמבנה השלדי שלהם בנוי מזוג אליפסות, או עיגולים, חופפים הנמצאים במישורים מאונכים זה לזה, באופן שהצירים שלהם או הקטרים שלהם נמצאים על קו ישר אחד. המרחק בין מרכזי האליפסות, או המעגלים, משפיע על אופי תנועתם. כך למשל, גוף גלילה דו-דיסקתי, שהמרחק בין מרכזי מעגלי המבנה השלדי שלו הוא , מתאפיין בכך, שבניגוד לאולואיד, בזמן גלגול, הוא שומר על גובה מרכז כובד קבוע, ולכן תנועתו חלקה. גופי גלילה, שהמבנה השלדי שלהם מבוסס על אליפסות נקראים אליפסולואידים[5], (אליפסה ואולואיד). גם בקבוצה זו ניתן למצוא גופים שתנועתם חלקה. כמו האולואיד, פני השטח של כל הגופים, שהמבנה השלדי שלהם מבוסס על עיגולים, או אליפסות, מאונכים זה לזה, מוגדרים על ידי הקמור של מבנה זה. קבוצת גופים זו, ביחד עם קבוצת הספריקונים, מרכיבה את קבוצת הגופים הפריסים, החד-פאתיים, הידועים כיום.

הספריקון ומשפחת הספריקונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השוואה בין ספריקון (מימין) לאולואיד (משמאל) – פתחו כאן, יש לעבור על התמונה על מנת לסובב את הגופים.

הספריקון (sphericon) הוא הגוף הפריס החד-פאתי הראשון שהתגלה, שהגדרתו אינה מבוססת על מושג הקמור. המבנה של הספריקון, ושל כלל הגופים הנמנים עם קבוצת הספריקונים, הנקראת על שמו, נגזר מגופי סיבוב, שצורת החתך שלהם היא מצולע משוכלל. בניגוד לאולואיד, תנועת הגלגול של הספריקון היא חלקה, וכל הערכים הגאומטריים והקינמטיים שלו, כמו של יתר הגופים בקבוצה, ניתנים לחישוב ישיר, מדויק ופשוט.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אולואיד בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ המשמעות של היות גוף חד פאתי, היא שבין כל שתי נקודות על פניו ניתן להתוות מסלול רציף וחלק. זאת בניגוד לגופים מרובי פאות, בהם המעבר מפאה אחת למשנייה אינו חלק.
  2. ^ בפועל, מכיוון ששליש מכל אחד מהמעגלים נמצא בתוך חלל הקמור, ניתן להסתפק בגזרות מעגל של 240 מעלות כדי ליצור את הגוף.
  3. ^ בדומה למשטח ישרים, שדרך כל נקודה על פני השטח שלו עובר ישר השוכן במשטח, כך, גוף קטעים, הוא גוף, שפני השטח שלו הם משטח רציף וחלק אחד, ושדרך כל נקודה על פניו עובר קטע השוכן במשטח.
  4. ^ הנס דירנבק, הלמוט שטכל (1997), "הפריסה של האולואיד", Journal for Geometry and Graphics, עמ' 105–.118
  5. ^ אין לבלבל עם אליפסואידים