אורך גל קומפטון

אורך גל קומפטון היא תכונה קוונטית של חלקיק. תכונה זו הוצגה על ידי הפיזיקאי ארתור קומפטון בהסבריו על פיזור פוטונים באמצעות אלקטרונים (בתהליך הנקרא אפקט קומפטון). אורך גל קומפטון של חלקיק שקול לאורך הגל של פוטון בעל אנרגיה השווה לאנרגיית המנוחה של החלקיק.

אורך גל קומפטון של חלקיק, מסומן $\lambda$, הוא:

$\lambda ={\frac {h}{mc}}$

כאשר h הוא קבוע פלאנק, m היא מסת המנוחה של החלקיק, ו-c היא מהירות האור.

אורך גל קומפטון מצומצם

אורך גל קומפטון המצומצם הוא אורך גל קופטון חלקי $2\pi$, כלומר

${\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}$

אורך גל קומפטון המצומצם הוא ייצוג טבעי של מסה בקנה מידה קוונטי, ועל כן הוא מופיע רבות במשוואות יסודיות של מכניקת הקוונטים. אורך גל קומפטון המצומצם מופיע גם במשוואת קליין-גורדון היחסותית לחלקיק חופשי:

$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi$

הוא מופיע גם במשוואת דיראק:

$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0\,$

וכן במשוואת שרדינגר, אף על פי שלרוב בהצגתה היא נעלמת מן העין. לדוגמה, משוואת שרדינגר של אלקטרון באטום דמוי מימן:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi$

אך חילוק המשוואה ב-$\hbar c$ ותוך שימוש בקבוע המבנה הדק, נקבל:

${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi$

הקשר בין אורך גל קומפטון הרגיל למצומצם

אורך גל קומפטון המצומצם הוא הצגה טבעית של מסה בקנה מידה קוונטי. על כן משוואות הנוגעות למסה בצורה של מסה, כגון משוואת קליין-גורדון ומשוואת שרדינגר, משתמשות באורך גל קומפטון המצומצם. לעומת זאת, אורך גל קומפטון הרגיל הוא הצגה טבעית של מסה שהומרה לאנרגיה. על כן משוואות הנוגעות להמרת מסה לאנרגיה, או לאורך גל של פוטונים המגיבים למסה, ישתמשו באורך גל קומפטון הרגיל.

לדוגמה, לחלקיק חסר מסה m יש אנרגיית מנוחה E = mc². אורך גל קומפטון הרגיל עבור החלקיק הוא אורך הגל של פוטון בעל אנרגיה זהה. עבור פוטונים בעלי תדירות f, האנרגיה הזו תינתן על ידי:

$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2}$

ומכאן ניתן לקבל את אורך גל קומפטון הרגיל.

הגבלות על מדידה

ניתן לחשוב על אורך גל קומפטון המצומצם כעל הגבלה בסיסית על מדידת המצב של חלקיק, תוך התחשבות במכניקת הקוונטים ובתורת היחסות הפרטית.. הגבלה זו נובעת ממסת החלקיק. לדוגמה, ניתן למדוד את מיקומו של חלקיק על ידי שידור אור אליו וקליטת האור המוחזר ממנו. כדי למדוד את מיקומו בצורה מדויקת, נדרש להשתמש באורך גל קצר ככל הניתן, כלומר בפוטונים בעלי אנרגיה גבוהה. אם האנרגיה הזו חורגת מהגודל mc², כשהפוטון יפגע בחלקיק, ההתנגשות עשויה ליצור חלקיק חדש מאותו הסוג. תהליך זה הופך את השאלה בנוגע למיקומו של החלקיק לשנויה במחלוקת.

טיעון זה גם מראה כי אורך גל קומפטון המצומצם הוא אורך גל הקטעון, מתחתיו תורת השדות הקוונטית נהיית חשובה.

תוך שימוש בעקרון אי הוודאות ניתן לרשום את הטיעון בצורה הבאה: נניח כי נרצה למדוד את מיקומו של החלקיק בדיוק $\Delta x$. לפי עקרון אי הוודאות של מקום ותנע, מתקיים:

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

ועל כן, אי הוודאות עבור התנע של החלקיק ניתן על ידי הנוסחה:

$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}$

שימוש בקשר היחסותי בין תנע ואנרגיה $p=\gamma m_{0}v$ מראה כי כאשר $\Delta p\geq mc$, אי הוודאות באנרגיה גדולה מ-$mc^{2}$, שהיא האנרגיה הדרושה ליצירת חלקיק חדש מאותו הסוג, ועל כן ההגבלה הבסיסית על אי הוודאות במיקום החלקיק היא:

$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}({\frac {\hbar }{mc}})={\frac {\lambda }{2}}$

קשר לקבועים נוספים

ניתן לקשר לאורך גל קומפטון המצומצם גדלים אטומים, מספרי גל ואת קבוע המבנה הדק.

את רדיוס בוהר ניתן לרשום בצורה הבאה:

$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}({\frac {\lambda }{2\pi }})\simeq 137\times {\bar {\lambda }}\simeq 5.29\times 10^{4}fm$

את רדיוס האלקטרון הקלאסי, שגדול בערך פי 3 מרדיוס הפרוטון, ניתן לרשום בצורה הבאה:

$a_{0}=\alpha ({\frac {\lambda }{2\pi }})\simeq {\frac {\bar {\lambda }}{137}}\simeq 2.89fm$

את קבוע רידברג ניתן לרשום כך:

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda }}$

ניתן גם לקשר גדלים בפיזיקה גרביטציונית לאורך גל קומפטון ולקבוע הצימוד הגרביטציוני ($\alpha _{G}$, הוא האנלוג לקבוע המבנה הדק).

מסת פלאנק היא מיוחדת היות שאורך גל קומפטון המתאים למסה שווה לחצי מרדיוס שוורצשילד. גודל מיוחד זה נקרא אורך פלאנק (מסומן $l_{P}$). אורך פלאנק ניתן לכתיב בצורה הבאה:

$l_{P}=\lambda {\frac {\sqrt {\alpha _{G}}}{2\pi }}$

ראו גם

• אפקט קומפטון
• ארתור קומפטון
• עקרון אי הוודאות