אורך דביי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בפלזמה ובאלקטרוליזה אורך דביי (נקרא גם רדיוס דביי), נקרא על-שם הפיזיקאי ההולנדי פטר דביי, הוא מדד לטווח ההשפעה האלקטרוסטטי של נושאי מטען בתמיסה. כדור דביי הוא נפח שרדיוסו הוא אורך דביי, שבתוכו ישנה השפעה, ומחוץ לו המטען מסוכך.

המקור הפיזיקלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אורך דביי מופיע באופן טבעי בתיאור התרמודינמי של מערכות גדולות של מטענים ניידים. במערכת של N סוגים שונים של מטענים, הסוג ה- j נושא מטען q_j והוא בצפיפות n_j(\mathbf{r}) במיקום \mathbf{r}. על פי מה שנקרא "המודל הפרימיטיבי", מטענים אלה מפוזרים ברציפות בחומר שמאופיין רק על ידי הפרמיטיביות הסטטית היחסית שלו, \varepsilon_r. התפלגות זו של מטענים בתוך החומר מייצרת פוטנציאל חשמלי \Phi(\mathbf{r}) שמקיים את משוואת פואסון:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}),

כאשר \varepsilon_0 הוא הפרמיטיביות של הוואקום.

המטענים הניידים לא רק מייצרים \Phi(\mathbf{r}) אלא גם נעים בתגובה לכוח קולון - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}) הנובע מפוטנציאל זה. אם נניח כי המערכת בשיווי משקל תרמודינמי עם אמבט חום בטמפרטורה מוחלטת T, אז התפלגות המטענים הבדידים, n_j(\mathbf{r}), היא ממוצע על הצבר התרמודינמי.

בהנחות אלה, צפיפות נושאי המטען מהסוג ה-j מתוארת על ידי התפלגות בולצמן,

 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)

כאשר k_B הוא קבוע בולצמן ו- n_j^0 היא הצפיפות הממוצעת של נושאי מטען j.

השוואת הצפיפויות הרגעיות והפוטנציאל במשוואת פואסון עם הממוצע שלהם בהתפלגות בולצמן נותנת את משוואת פואסון-בולצמן:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right).

פתרונות למשוואה לא לינארית זו קיימים לכמה מערכות פשוטות. פתרונות למערכות כלליות יותר, ניתן לקבל בגבול של טמפרטורות גבוהות (צימוד חלש), q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T, על ידי פיתוח טיילור:

 \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 
1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}

קירוב זה נותן את משוואת פואסון-בולצמן הלינארית

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j

אשר ידועה גם כמשוואת דביי-האקל.