פוטנציאל חשמלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלקטרוסטטיקה, הפוטנציאל החשמלי (מסומן לרוב ב-\ \phi או ב-\varphi) הוא האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית ליחידת מטען. כלומר, עבור מטען בוחן‏[1] q הפוטנציאל החשמלי הוא המנה של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של מטען הבוחן מחולקת בגודל המטען.

בדומה לאנרגיה פוטנציאלית, הפוטנציאל החשמלי נקבע רק עד כדי קבוע התלוי בנקודת יחוס. הגודל בעל המשמעות הפיזיקלית אינו הפוטנציאל עצמו אלא הפרשי ערכי הפוטנציאל בנקודות שונות, המכונה מתח חשמלי. גודל זה הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי על מנת להעביר מטען בוחן בין הנקודות. עבור גופים סופיים, מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מתאפס ב"אינסוף" (במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית) ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי על מנת להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף.

הפוטנציאל החשמלי הוא פונקציה סקלרית של המרחב (כלומר \varphi = \varphi (\vec r)). הפוטנציאל נמדד ביחידות של וולט במערכת היחידות SI[2] ובסטטוולט במערכת היחידות CGS.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

השדה החשמלי האלקטרוסטטי  \vec E הוא שדה משמר (מקיים \vec \nabla \times \vec E = 0 ). מכאן נובע קיומה של פונקציה סקלרית \ \phi מתוכה ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי  \vec E = -\vec \nabla \phi . פונקציה זו היא הפוטנציאל החשמלי.

את הפוטנציאל החשמלי ניתן לחשב על ידי קביעת ערכו באופן שרירותי בנקודה מסוימת \phi(\vec r_0)=0 , ולאחר מכן ערכו בכל נקודה אחרת יחושב על ידי אינטגרציה של השדה החשמלי:

 \phi(\vec r) = -\int \vec E \cdot d\vec r

כאשר האינטגרציה מתבצעת על גבי מסילה כלשהי המחברת בין הנקודות  \vec r_0,\vec r .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה ופוטנציאל של דיפול חשמלי. החצים מתארים את השדה החשמלי והקווים הרציפים הם קווים שווי פוטנציאל (מחברים נקודות בעלות אותו פוטנציאל)
  • הפוטנציאל החשמלי סביב מטען נקודתי \ q הוא  \frac{kq}{r} , כאשר \ r הוא המרחק מן המטען, ו- \ k קבוע קולון.
  • הפוטנציאל החשמלי שיוצר תיל "אינסופי" טעון בצפיפות מטען \ \lambda הוא \ -2k\lambda \ln \left(\frac{r}{r_0}\right) , כאשר \ r הוא המרחק מהתיל ו-\ r_0 נקודת יחוס שרירותית בה הפוטנציאל מתאפס (בדוגמה זו הגוף הטעון איננו סופי ולכן ההגדרה \varphi (\infty)=0 אינה נוחה)

משמעות פיזיקלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפוטנציאל החשמלי הוא איננו האנרגיה הפוטנציאלית אלא האנרגיה הפוטנציאלית מחולקת במטען. לכן למכפלה q\varphi(\vec r) יש משמעות של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית שיש למטען q כשהוא נמצא בנקודה \vec r (הקשר בין פוטנציאל ואנרגיה, דומה, אם כן, לקשר בין השדה החשמלי לכוח החשמלי). כיוון שיש חופש בבחירת נקודת יחוס בה הפוטנציאל מתאפס, רק להפרשי פוטנציאל בין נקודות שונות יש משמעות פיזיקלית. הפרש זה, הקרוי מתח, הוא העבודה ליחידת מטען שיש להשקיע כנגד השדה החשמלי על מנת להעביר מטען בוחן בין שתי הנקודות. מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מתאפס ב"אינסוף" (במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית) ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע על מנת להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף.

צורת הפוטנציאל קובעת את האופן בו ינועו מטענים. סימן המינוס בהגדרת הפוטנציאל גורם לכך שמטענים חיובים ינועו מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך ואילו מטענים שליליים ינועו מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה. באופן מדויק יותר, הכוח שיפעל על המטענים הוא בכיוון גרדיאנט הפוטנציאל עבור מטען שלילי ובכיוון הפוך לכיוון הגרדיאנט עבור מטען חיובי  (\vec F = q \vec E= -q\vec \nabla \phi) .

הפוטנציאל החשמלי ומשוואת פואסון[עריכת קוד מקור | עריכה]

מחוק גאוס נובע כי הפוטנציאל החשמלי מקיים את משוואת פואסון:

 \nabla^2 \phi = -4\pi k \rho .

כאשר \ \rho צפיפות המטען במרחב ו- \ k קבוע קולון.

בהינתן התפלגות מטען כלשהי \ \rho , פתרון המשוואה עבור הפוטנציאל הוא:

 \phi (\vec r) = k \int \frac{\rho(\vec r^')}{|\vec r - \vec r^'|} d\vec r^'

הפוטנציאל החשמלי באלקטרומגנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוכחות שדה מגנטי משתנה בזמן, השדה החשמלי אינו שדה משמר ומתקיים:  \vec \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} . לכן לא ניתן להגדיר פוטנציאל חשמלי באופן דומה למקרה האלקטרוסטטי ממנו ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי  \vec E = -\vec \nabla \phi . למרות זאת, ניתן במקרה זה לגזור את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל הווקטורי  \vec A והכללה כלשהי של הפוטנציאל החשמלי (פוטנציאל סקלרי \ \phi ).

למרות שהשדה החשמלי אינו משמר, השדה  \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t} כן משמר וניתן לגזור אותו מתוך פוטנציאל סקלרי: \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}= -\vec \nabla \phi .

כלומר במקרה זה, אין לפוטנציאל החשמלי משמעות של אנרגיה, אך ניתן להיעזר בו ובפוטנציאל הווקטורי על מנת לקבל את השדה החשמלי:

\vec E =- \frac{\partial \vec A}{\partial t} -\vec \nabla \phi

חופש כיול[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיוון שהשדה החשמלי נגזר מתוך שילוב של הפוטנציאל הווקטורי והסקלרי, חופש הכיול של הפוטנציאל הווקטורי גורר גם חופש כיול לפוטנציאל הסקלרי. כלומר הפוטנציאלים  \vec A+\vec \nabla \Lambda , \phi -\frac{\partial \Lambda}{\partial t} (עבור \ \Lambda כלשהי) מתארים אותם שדות חשמליים ומגנטיים כמו  \vec A, \phi .

4-וקטור הפוטנציאל[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניסוח יחסותי של האלקטרומגנטיות, מאוגדים הפוטנציאל הסקלרי והווקטורי ל4-וקטור  A^{\mu} =( \phi, \vec A ) . 4-וקטור הפוטנציאל משמש להגדרת טנזור השדה האלקטרומגנטי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פוטנציאל חשמלי בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מטען פיקטיבי שאינו משפיע על שאר המערכת
  2. ^ כל הנוסחאות בערך זה הן במערכת היחידות SI