משוואת פואסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת פואסון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם שימושים רבים באלקטרוסטטיקה, הנדסת מכונות ופיזיקה תאורטית. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון.

משוואת פואסון היא:

כאשר הוא אופרטור לפלס או לפלסיאן ו-f ו-φ הן פונקציות מרחביות. כאשר המרחב הוא מרחב אוקלידי מסמנים את הלפלסיאן כך: ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:

במרחב תלת ממדי במערכת צירים קרטזית המשוואה היא מהצורה הבאה:

כאשר המשוואה היא הומוגנית () משוואת פואסון הופכת למשוואת לפלס, והפונקציה המקיימת אותה נקראת פונקציה הרמונית :

משוואת פואסון ניתן לפתור על ידי פונקציית גרין. ישנן גם שיטות נומריות רבות לפתרון. שיטת הרלקסציה היא אחת מהן.

אלקטרוסטטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת מאבני היסוד של האלקטרוסטטיקה היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון. מציאת φ עבור f נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית הפוטנציאל החשמלי עבור התפלגות מטענים נתונה. במערכת יחידות SI:

כאשר הוא הפוטנציאל החשמלי (בוולט), היא צפיפות המטען (בקולון למטר בשלישית) ו- היא הפרמיטיביות של הריק (בפאראד למטר).

באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים : והמשוואה לפוטנציאל הופכת למשוואת לפלס:

פוטנציאל של התפלגות מטענים גאוסיאנית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהתפלגות גאוסיאנית תלת ממדית ספירית סימטרית של צפיפות המטען מתקיים:

כאשר Q הוא המטען הכולל, הפתרון Φ (r) של משוואת פואסון:

נתון על ידי:

כאשר היא פונקציית השגיאה. ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של . שים לב שעבור r גדול בהרבה מ-σ, מתקרבת ל-1 והפוטנציאל שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי , כצפוי.