אי-שוויון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון הוא פסוק לוגי, המשווה שני ערכים מספריים (מפורשים או התלויים בנעלם), וקובע שאחד מהם גדול מרעהו. לדוגמה, 8>2 הוא אי-שוויון מפורש, בין מספרים, ואילו \ x^2 > x+6 מגביל את הערכים האפשריים למשתנה x, בדומה למשוואה כמו \ x^2=x+6.

אי-שוויון הוא יחס סדר מלא. סימני היחס המתארים אי-שוויון הם \ <, >, \leq, \geq,\ne, שמשמעותם: "a שונה מ-a" (\ \ne) "b גדול מ-b" (\ a>b או \ b<a) או "a גדול מ-b או שווה לו" (\ a\geq b או \ b \leq a). סימנים אלו עשויים לתאר לא רק את יחס הסדר המקובל בין מספרים, אלא גם יחסי סדר אחרים.

פעולות באי-שוויונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הסדר על הישר הממשי הוא לינארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: \ a<b, \ a=b או \ a>b. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).

משוואות כמו \ 2x+4y=6, x-5y=0 אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:

  1. אם \ a<b אז לכל c, \ a+c<b+c;
  2. אם \ a<b ו-\ d חיובי, אז גם \ ad<bd; אם \ d שלילי, אז \ ad>bd;
  3. אם \ a<b וידוע ש\ b ,\ a חיוביים, אז גם \ a^2<b^2.

החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).


מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-

  1. אם \ a<b ו- \;c<d אז \ a+c<b+d;
  2. אם \ a<b ו- \ 0<c<d אז \ ac<bd.

מערכת של אי-שוויונות לינאריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האלגברה הלינארית עוסקת במערכות של משוואות לינאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה לינארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון לינארי.

כדי שלמערכת של משוואות לינאריות (כמו \ x+y=1, x+z=1, z-y=6) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות לינארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות \ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j>0 (\ i=1,\dots,m) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף לינארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים \ b_1,\dots,b_m\geq 0, שאינם כולם אפס, כך ש- \ \sum_{i=1}^{m} b_i(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)=0 .

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.