אלגברה ריבועית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אלגברה ריבועית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (עם יחידה) A שכל איבר שלה שייך להרחבה דו-ממדית של שדה הבסיס[1]. הדוגמה הבולטת לאלגברה כזו היא אלגברת הרכב, כגון אלגברת קווטרניונים, ובפרט אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_2(F). באופן כללי יותר, כל אלגברה המתקבלת מבניית קיילי-דיקסון היא ריבועית.

ה"ריבועיות" של אלגברה אינה תלויה בשדה הבסיס, כלומר, היא נשמרת תחת הרחבת סקלרים, ואינה נולדת מהרחבה כזו. כל אלגברה ריבועית היא אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות במובן החזק.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כחלק מן ההגדרה, אלגברה ריבועית מצוידת במבנה נוסף: לכל איבר \ x\in A קיימים \ t(x),n(x) \in F כך ש- \ x^2 - t(x)x+n(x) = 0. אם המאפיין של שדה הבסיס הוא 2, דורשים שהפונקציה t תהיה לינארית. הלינאריות הזו נובעת מן ההגדרה בכל מאפיין אחר, אבל במאפיין 2, יש אלגברות בוליאניות שכל איבר שלהן שייך להרחבה דו-ממדית, אבל אינן ריבועיות (משום שלא ניתן לבחור את t כך שתהיה לינארית). כשהמאפיין אינו 2, הפונקציה n היא תבנית ריבועית כפלית: \ n(xy) = n(x)n(y), ואם היא אינה מנוונת, A נעשית אלגברת הרכב.

נניח שהמאפיין של שדה הבסיס אינו 2. הלינאריות של t מפרקת את האלגברה לסכום ישר \ A = F \oplus V, כאשר \ V = \operatorname{Ker}(t) הוא אוסף הווקטורים ה"טהורים" של האלגברה. יש התאמה בין אלגברות ריבועיות \ A = F+V לבין זוגות סדורים של פעולה בינארית אנטי-סימטרית \ \eta : V \times V \rightarrow V, ותבנית בילינארית \ b : V \times V \rightarrow F. התאמה זו לאוסף "פרוע" של אובייקטים מראה שאין טעם לנסות למיין אלגברות ריבועיות, אלא אם הן מקיימות תכונות אלגבריות נוספות. J.M. Osborn הראה שהממד של אלגברה ריבועית שבה כל האברים הפיכים, ושבה כל שני אברים יוצרים תת-אלגברה מדרגה 2 או 4, הוא חזקת-2.

אלגברות ריבועיות עם חילוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-\ H(V,b,\xi,\eta) את האלגברה הריבועית F+V עם פעולת הכפל \ (\alpha+v)(\alpha'+v') = (\alpha\alpha' - b(\alpha,\alpha') + \xi(v,v')) + (\alpha v' + \alpha' v + \eta(v \otimes v')), כאשר:

  • b : V \times V \rightarrow k היא תבנית בילינארית סימטרית;
  • \ \xi : V \times V \rightarrow k היא תבנית בילינארית אנטיסימטרית;
  • ו-\ \eta : V \otimes V \rightarrow V היא פעולה אנטי-קומוטטיבית.

ב-1962 הראה Osborn שבמאפיין שונה מ-2, כל אלגברת חילוק ריבועית היא מהצורה H(V,b,\xi,\eta), כאשר:

  • \ \langle 1\rangle \perp b אנאיזוטרופית;
  • לכל \ x,y\in V בלתי תלויים לינארית, גם \ x,y, \eta(x \otimes y) בלתי תלויים.

גם להיפך, כל אלגברה הבנויה באופן כזה היא אלגברה ריבועית עם חילוק.

האלגברה H(V,b,\xi,\eta) מקיימת את הזהות הגמישה אם ורק אם \ \xi = 0 ולכל x,y מתקיים \ b(\eta(x \otimes y),y) = 0[2].

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Nonassociative algebra, Schafer.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ב-Bourbaki, Algebra I, פרק II.2.3, השם quadratic algebra מתייחס לאלגברה דו-ממדית בלבד.
  2. ^ J. Marshall Osborn, Quadratic division algebras, Transactions of the AMS 105(2), 1962