אלגברה לא אסוציאטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מחלקות חשובות של אלגבראות לא אסוציאטיביות. בכחול - האלגבראות הקומוטטיביות

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגבראות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות. במלים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי שבמרכזו חוג קומוטטיבי . אלגבראות אלו נקראות לעתים גם אלגבראות דיסטריביוטיביות, שכן זוהי התכונה היחידה שנדרשת מפעולת הכפל באלגברה.

באלגבראות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית". תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגבראות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגבראות, אידאלים, אלגבראות פשוטות, משפטי האיזומורפיזם). עם זאת, תורת המבנה של אלגבראות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגבראות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר. תכונות מבנה בסיסיות של אלגבראות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.

אלגבראות לי, אלגבראות ז'ורדן, אלגבראות אלטרנטיביות ואלגבראות מלצב כולן משפחות חשובות של אלגבראות לא אסוציאטיביות, שנחקרו רבות לאורך השנים. בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות, המזכות משפחות אלגבראות אלו בשם "אלגבראות כמעט אסוציאטיביות". במשפחות מוכרות רבות, ישנם משפטי מבנה בעלי אופי דומה לאלו שבתורה האסוציאטיבית.

הגרעין והמרכז[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים לכל x,y, כאשר הוא האסוציאטור; זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. המרכז מוגדר כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A.

אלגברת הפעולות של A הנה תת-האלגברה הנוצרות על ידי ההעתקות לכל , כאשר מקיימות ו-. אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל אידאל של A. אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.

ה-centroid של A הוא המֵרָכֶז של ב- ; כאשר לאלגברה יש יחידה, המרכז איזומורפי ל-centroid, על ידי ההעתקה . עם זאת, באלגבראות פשוטות כלליות ללא יחידה, ה-centroid הוא מונח כללי יותר (שכן המרכז הוא אפס במקרה זה), והאלגברה נלמדת לעתים כאלגברה מעל מבנה זה.

אידאל האסוציאטור הוא האידאל הנוצר על ידי האיברים , כלומר . זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית[1] מבטיחות שהאידאל שווה ל- .

נילפוטנטיות, פתירות ורדיקלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת. בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים באינדוקציה , ו- . אלו הן כמובן תת-אלגבראות של A; היות שבאופן כללי חזקה של איבר לא מוגדרת היטב באלגברה לא אסוציאטיבית, ההגדרה של "תופסת" את כל סידורי הסוגריים האפשריים.

האלגברה נקראת נילפוטנטית אם קיים עבורו , ופתירה אם . המספר המינימלי המקיים את התכונה נקרא אינדקס הנילפוטניות ואינדקס הפתירות, בהתאמה. כל אלגברה נילפוטנטית היא ודאי פתירה. סכום של כל שני אידאלים פתירים (בתור אלגבראות בפני עצמם) גם הוא אידאל פתיר; כאשר האלגברה סוף ממדית, מוגדר הרדיקל הפתיר של A, בתור האידאל הפתיר המקסימלי שלה. אלגברת המנה לא מכילה אידאלים פתירים אמיתיים.

כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדילקים מהווים כלי מחקר של האלגבראות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים למחלקת האלגבראות, נחקרות האלגבראות הרדיקליות - המקיימות , והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות . הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב באלגבראות לי (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב ). רדיקל חשוב נוסף הוא רדיקל הפשטות, המוגדר בתור האידאל המינימלי , כך שהאלגברה מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.

תבניות בילינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור תבניות בילינאריות של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן. תבנית עקבה (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית בילינארית סימטרית , המקיימת . עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידאל B של A, מוגדר האידאל האנכי ל-B מוגדר בתור , גם הוא אידאל. הרדיקל של התבנית מוגדר בתור האידאל ; התבנית נקראת רגולרית אם הרדיקל שלה אפס.

המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית. עוד נניח כי לכל אידאל . אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידאלים פשוטים.

שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא באלגבראות לי, עליהן מוגדרת תבנית קילינג, אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.

אלגברת הנגזרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור המקיימות את הזהות (כלל לייבניץ), מסמנים ב-. זוהי תת-אלגברת לי של , היינו סגורה גם לקומוטטורים.

נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות ; זהו אידאל של . ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.

אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעומת המקרה האסוציאטיבי, במקרה הלא אסוציאטיבי יש הבדל בין הפיכות מימין ומשמאל של איבר לבין קיום פתרונות למשוואה מהצורה (כאשר ). לכן, מגדירים אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק בתור אלגברה לא אסוציאטיבית המקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

  • לכל קיימים ויחידים כך ש-.
  • לכל אופרטורי הכפל משמאל ומימין, , הפיכים (בתור אופרטורים).

כמו במקרה האסוציאטיבי, אלגברה עם חילוק היא תחום (כלומר - אין מחלקי אפס), ובממד סופי כל תחום הוא אלגברת חילוק.

חוגים סופיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט הקטן של ודרברן נשאר נכון גם עבור מספר נרחב של מחלקות נפוצות של אלגבראות לא אסוציאטיביות - כל אלגברה חילוק סופית אלטרנטיבית/עם חזקה אסוציאטיבית (ממאפיין לא 2) היא שדה. את הטענה האחרונה הוכיח לראשונה אלברט תוך שהוא עובר על כל המקרים ממשפט המיון של אלגבראות ז'ורדן; McCrimmon הציג מאוחר יותר הוכחה יונפירומית.

מכפלה טנזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגבראות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה. לדוגמה, המכפלה של שתי אלגבראות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגבראות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.

כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגבראות לא אסוציאטיביות פשוטות מרכזיות גם היא פשוטה מרכזית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.
  • Non-Associative Structures, E. N. Kuzmin, I. P. Shestakov.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ למשל