אקסיומת ההפרדה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמבטיחה שכל תת קבוצה ניתנת להגדרה של קבוצה היא גם קבוצה.

באופן פורמלי, סכימת האקסיומות מורכבת מאקסיומה אחת עבור כל נוסחה עם פרמטרים בשפה מסדר ראשון של תורת הקבוצות שמבטיחה כי לכל קבוצה A יש קבוצה B שאיבריה הם בדיוק כל איברי A שמקיימים את הנוסחה:

כאשר הוא פרמטר של הנוסחה.

כלומר אקסיומת ההפרדה מורכבת מקבוצה רקורסיבית אינסופית של אקסיומות.

האינטואיציה מאחורי סכימת האקסיומות היא שמחלקה (כלומר אוסף גדיר של איברים) הוא גדול ולכן לא יכול להיות מוכל בקבוצה.

אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יחד עם אקסיומת הקבוצה הריקה (ראו שם). למרות זאת יש שכוללים את אקסיומת ההפרדה ברשימת האקסיומות של ZFC משיקולים היסטוריים, או משיקולי נוחות.

שיקול נוסף להכללת אקסיומת ההפרדה הוא שבבניות של מודלים של תורת הקבוצות לעיתים אם נגדיר את אקסיומות האחרות באופן רחב (למשל את אקסיומת האיחוד נגדיר רק כקיום קבוצה שמכילה לפחות את האיחוד וכו'), נקבל כי כל האקסיומות למעט אקסיומת ההפרדה נובעות מתכונת אוניברסליות של המודל שנבנה - לכל קבוצה בעולם יש קבוצה במודל שמכילה אותה, ורק הוכחת אקסיומת ההפרדה דורשת עבודה.

בתורת הקבוצות הנאיבית, לכל נוסחה שהיא אוסף כל הקבוצות שמקיימות את הנוסחה הוא קבוצה. הגדרה זו מובילה לפרדוקסים רבים, למשל הפרדוקס של ראסל, כיוון שהיא מאפשרת קיום של קבוצות מאוד גדולות (למשל קבוצת כל הקבוצות).

אקסיומת ההפרדה (בדומה למקבילתה החזקה יותר - אקסיומת ההחלפה), היא הגבלה של ההגדרה של תורת הקבוצות הנאיבית: אוסף האיברים שמקיים תכונה מסוימת הוא קבוצה רק במקרים בהם הוא כבר מוכל בקבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו מונעים את היווצרותן של הקבוצות הפרדוקסליות, אך מאבדים גם את רב היכולת של בניית האובייקטים שהתאפשרה לפני כן. קבלת אקסיומת ההפרדה במקום האקסיומה הנאיבית היוותה את תחילת הפיתוח של תורת הקבוצות האקסיומטית. למעשה רב האקסיומות האחרות במערכת ZF נועדו להתמודד עם ההגבלה של אקסיומת ההפרדה.

באותו הקשר, אקסיומת ההפרדה יכולה לשמש כדי להוכיח כי אוספים מסוימים אינם קבוצות. כך למשל אוסף כל הקבוצות איננו קבוצה, כי הקבוצה של ראסל - קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן, הייתה קבוצה לפי אקסיומת ההפרדה.