מרחב טופולוגי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב טופולוגי הוא קבוצה X ומשפחה \ \tau של תת קבוצות של X המקיימת שלושה תנאים:

  1. הקבוצה הריקה והקבוצה X שייכים ל־\ \tau.
  2. \ \tau סגורה תחת איחוד : איחוד של כל אוסף קבוצות מ־\ \tau שייך ל־\ \tau.
  3. חיתוך של שתי קבוצות מ־\ \tau שייך גם הוא ל־\ \tau. (אין הכרח שחיתוך מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו שייך למשפחה)

הקבוצות השייכות ל-\ \tau ייקראו קבוצות פתוחות. \ \tau נקראת הטופולוגיה על X. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה. איברי X יקראו "נקודות".

הערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.

אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב X יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לו ייקרא "בסיס". לעתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. יש להעיר שלא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב \ X מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.

אוסף של קבוצות מ־\ \tau כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.


ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב טריוויאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מרחב \ X ניתן להגדיר טופולוגיה \ \tau =\{X, \varnothing\}.

קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.

ניתן להבחין שלכל \ X בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)

מרחב דיסקרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב \ X היא הטופולוגיה הדיסקרטית - \ (X,P(X)). כלומר, טופולוגיה בה כל תת-קבוצה של \ X היא קבוצה פתוחה.

גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.

בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל \ x\ne y, \ d(x,y)=c.)

הטופולוגיה הקו־סופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב \ X כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן.)

עבור \ X אינסופי, טופולוגיה זו עשירה מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדרוף.