בעיית אפולוניוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
תרשים 1. בעיית אפולוניוס העשירית: בניית מעגל משיק לשלושה מעגלים נתונים (צבועים בשחור). פתרון אפשרי אחד בורוד.
תרשים 2. כל 8 הפתרונות לבעיה העשירית, מוצגים כ 4 זוגות לפי צבע. המעגלים הנתונים צבועים בשחור.

בגאומטריה אוקלידית, בעיית אפולוניוס או בעיית המגעים מוגדרת כבניית מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל . אפולוניוס מפרגה (בקירוב 262 לפנה"ס עד 190 לפנה"ס) פרסם את הבעיה המפורסמת בעבודתו Ἐπαφαί ("משיקיים") אך לא נתן לה את כל הפתרונות האפשריים; עבודה זו אבדה, אך דיווח על תוצאותיו נכתב על ידי פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 ושרד.

מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה. פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן. לעיתים בעיית אפולוניוס מתייחסת אליה בלבד. בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה.

האובייקטים יכולים לחתוך זה את זה, אך נהוג להתייחס למקרים בהם הם נפרדים זה מזה.

לבעיה העשירית יש שמונה פתרונות אפשריים (אחד מהם בתרשים 1). יש שמונה מעגלים אפשריים שמשיקים לשלושת המעגלים הנתונים (תרשים 2). כל מעגל מקיף תת-קבוצה שונה מתוך שלושת המעגלים וליתר המעגלים הוא משיק מבחוץ. ישנן 8 תתי קבוצות אפשריות בקבוצה בה העצמה היא 3, מאחר ש 8 = 23.


עשרת הסוגים של בעיית אפולוניוס
מספר קוד אובייקטים נתונים מספר פתרונות
דוגמה
(פתרון בורוד, האובייקטים בשחור)
1 PPP 3 נקודות 1 Apollonius PPP black.svg
2 LPP ישר ו 2 נקודות 2 Apollonius LPP black.svg
3 LLP 2 ישרים ונקודה 2 Apollonius LLP black.svg
4 CPP מעגל ו 2 נקודות 2 Apollonius CPP black.svg
5 LLL 3 ישרים 4 Apollonius LLL black.svg
6 CLP מעגל ישר ונקודה 4 Apollonius CLP black.svg
7 CCP 2 מעגלים ונקודה 4 Apollonius CCP black.svg
8 CLL מעגל ו 2 ישרים 8 Apollonius CLL black.svg
9 CCL 2 מעגלים וישר 8 Apollonius CCL black.svg
10 CCC 3 מעגלים (הבעיה הקלאסית) 8 Apollonius CCC black.svg

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא בעיית אפולוניוס בוויקישיתוף
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.