גאומטריה אבסולוטית

גאומטריה אבסולוטית היא גאומטריה המתבססת על מערכת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית ללא אקסיומת המקבילים או כל אחת מהחלופות שלה. באופן מסורתי, פירוש הדבר הוא שבמסגרתה מותר שימוש רק בארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס. המונח נטבע לראשונה על ידי יאנוש בויאי ב-1832. מערכת גאומטרית כזאת מכונה לעתים גאומטריה נייטרלית, שכן היא נייטרלית ביחס לאקסיומת המקבילים.

תכונות

בספר היסודות של אוקלידס, 28 הטענות הראשונות וטענה 31 נמנעות מלהשתמש באקסיומת המקבילים, ולפיכך הן תקפות בגאומטריה אבסולוטית. ניתן להוכיח בגאומטריה אבסולוטית גם את הגירסה החלשה של משפט הזווית החיצונית במשולש (זווית חיצונית למשולש גדולה יותר מכל אחת מזוויותיו הפנימיות המרוחקות), כמו גם את משפט סאקרי-לז'נדר, אשר קובע כי סכום הזוויות במשולש הוא לכל היותר 180°.

טענה 31 מתארת את הבנייה של ישר מקביל לישר נתון דרך נקודה שאינה על הישר הנתון. כיוון שההוכחה שלה מערבת רק את טענה 27 (משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות), זוהי בנייה תקפת בגאומטריה אבסולוטית. ביותר דיוק, בהינתן ישר l וכל נקודה P שאינה על l, ישנו לפחות קו אחד דרך P שמקביל ל-l. ניתן להוכיח זאת בעזרת בנייה מוכרת: בהינתן ישר l ונקודה P שאינה על l, נוריד את האנך m מ-P ל-l, ואז נעביר אנך n ל-m דרך P. על פי משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות, l מקביל ל-n (משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות קובע שאם הקווים a ו-b נחתכים על ידי קו רוחבי t כך שמתקבל צמד זוויות פנימיות מתחלפות, אז a ו-b מקבילים). בנייה זאת, ומשפט הזוויות הפנימיות המתחלפות, אינן תלויים באקסיומת המקבילים ולפיכך הם תקפים בגאומטריה אבסולוטית.

בגאומטריה אבסולוטית, ניתן להוכיח גם ששני ישרים הניצבים לאותו ישר אינם נחתכים (מה שהופך את שני הישרים למקבילים לפי ההגדרה של הקבלה), מה שמוכיח שזוויות הבסיס העליון של מרובע סאקרי לא יכולות להיות קהות, ושלפיכך גאומטריה כדורית אינה גאומטריה אבסולוטית.

הקשר לגאומטריות אחרות

המשפטים של הגאומטריה האבסולוטית תקפים הן בגאומטריה היפרבולית, שהיא גאומטריה לא אוקלידית, והן בגאומטריה אוקלידית. עם זאת, היא אינה עקבית עם הגאומטריה האליפטית: בגאומטריה זאת, אין ישרים מקבילים בכלל, בעוד שזהו משפט של גאומטריה אבסולוטית שישרים מקבילים קיימים.

מישורי הילברט

מישור שמקיים את אקסיומות החיתוך, הסדר והחפיפה של הילברט מכונה מישור הילברט. מישורי הילברט הם מודלים של גאומטריה אבסולוטית.

אי-שלמות

גאומטריה אבסולוטית היא מערכת אקסיומטית לא שלמה, במובן שניתן להוסיף לה אקסיומות בלתי תלויות נוספות מבלי לפגוע בעקביות המערכת האקסיומטית. ניתן להרחיב את הגאומטריה האבסולוטית באמצעות הוספת מגוון אקסיומות על ישרים מקבילים ולקבל מערכות אקסיומות שאינן מתיישבות הדדית אך שכל אחת בנפרד היא עקבית, ובכך לקבל את הגאומטריה האוקלידית או ההיפרבולית. לפיכך כל משפט של גאומטריה אבסולוטית הוא משפט של גאומטריה היפרבולית וגאומטריה אוקלידית. עם זאת, ההפך אינו נכון.

ראו גם

• גאומטריה לא אוקלידית