דוגמה נגדית

בלוגיקה ובמתמטיקה, דוגמה נגדית היא שיטה להפרכה של טענות על ידי שימוש במבנה לוגי זהה של טענות ומסקנות עם תוכן אחר שמציג בכך את אי-התקפות של אותו מבנה משותף.

שיטה זו מטפלת בטענות כלליות; כלומר, טענות העוסקות באיבריה של קבוצה כלשהי, ומראה כי קיים לפחות מקרה פרטי אחד שבו הטענה אינה נכונה. די במקרה פרטי אחד זה, הקרוי "דוגמה נגדית", כדי להפריך את הטענה.

להמחשה, בעבר חשבו שכל מספר שבנוי רק מהספרה 3, אך ספרת האחדות שלו היא 1, הוא מספר ראשוני. טענה זו אכן הייתה נכונה עבור מקרים פרטיים רבים: 31, 331, 3,331 וכו', אולם עם כניסת המחשב לבדיקת ראשוניות של המספרים, התברר כי המספר 333,333,331 הוא מכפלה של 17 ו-19,607,843, ולכן אינו ראשוני. המספר 333,333,331 מהווה דוגמה נגדית לַכלל שצוין, ובכך מפריך אותו.

דוגמה ידועה לשימוש בדוגמה נגדית זו ההפרכה של השערת אוילר.

פשטות או מינימליות של דוגמה נגדית

מבחינה לוגית, אין העדפה לדוגמה נגדית אחת על פני אחרת, אולם מבחינה אסתטית (ובפרט, אסתטיקה מתמטית) ופדגוגית, יש העדפה לדוגמה נגדית פשוטה ככל הניתן. לדוגמה, יש אינסוף דוגמאות נגדיות לטענה "אם שלושה מספרים הם זרים (אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שלושתם), אז הם זרים בזוגות (כלומר, לכל שניים אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם)". אולם מבין כל הדוגמאות הנגדיות עדיפה זו ה"מינימלית" (זו שמערבת את המספרים הכי קטנים). לבניית הדוגמה המינימלית, נחוצים שני המספרים הקטנים ביותר שאינם זרים, כלומר 2 ו-4, ומספר שלישי מינימלי שזר לשניהם, במקרה זה, 1, ליצירת השלשה (1,2,4).