דוגמה נגדית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בלוגיקה ובמתמטיקה, דוגמה נגדית היא שיטה להפרכה של טענות.

שיטה זו מטפלת בטענות כלליות; כלומר, טענות העוסקות באיבריה של קבוצה כלשהי, ומראה כי קיים לפחות מקרה פרטי אחד שבו הטענה אינה נכונה. די במקרה פרטי אחד זה, הקרוי "דוגמה נגדית", כדי להפריך את הטענה.

להמחשה, בעבר חשבו שכל מספר שבנוי רק מהספרה 3, אך ספרת האחדות שלו היא 1, הוא מספר ראשוני. טענה זו אכן הייתה נכונה עבור מקרים פרטיים רבים: 31, 331, 3,331 וכו', אולם עם כניסת המחשב לבדיקת ראשוניות של המספרים, התברר כי המספר 333,333,331 הוא מכפלה של 17 ו-19,607,843, ולכן אינו ראשוני. המספר 333,333,331 מהווה דוגמה נגדית לַכלל שצוין, ובכך מפריך אותו.

פשטות או מינימליות של דוגמה נגדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינה לוגית, אין העדפה לדוגמה נגדית אחת על פני אחרת, אולם מבחינה אסתטית (ובפרט, אסתטיקה מתמטית) ופדגוגית, יש העדפה לדוגמה נגדית פשוטה ככל הניתן. לדוגמה, יש אינסוף דוגמאות נגדיות לטענה "אם שלושה מספרים הם זרים (אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שלושתם), אז הם זרים בזוגות (כלומר, לכל שניים מביניהם אין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם)". אולם מבין כל הדוגמאות הנגדיות עדיפה זו ה"מינימלית" (זו שמערבת את המספרים הכי קטנים). את הדוגמה המינימלית ניתן לבנות בעזרת זוגות של מכפלות של הראשוניים הקטנים ביותר: 2, 3, 5 ({\textstyle 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 5}); וכך מקבלים את השלשה: 6, 10, 15.