קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)

קונסטרוקטיביזם היא אסכולה בפילוסופיה של המתמטיקה הגורסת שכדי להוכיח את קיומו של אובייקט, יש צורך לבנות אותו באופן מפורש. גישה זו עומדת בניגוד לתפיסה המקובלת במתמטיקה המודרנית, שלפיה אפשר להסיק שהעצם קיים, גם מתוך כך שהנחת אי-קיומו מביאה לסתירה. הקונסטרוקטיביזם מחייב פירוש מחדש לא רק של הכמת היישי, אלא גם של כל הקשרים הלוגיים. לאסכולה הקונסטרוקטיביסטית מספר וריאנטים, שהידוע והמרכזי ביניהם הוא האינטואיציוניזם.

העצמים הנחקרים במסגרת הקונסטרוקטיביזם הם עצמים סופיים, שניתן לבנותם. מכך מקבלים תורה מתמטית שהיא חלשה יותר מהתורה המתמטית המודרנית, משום שישנם משפטים העוסקים בעצמים סופיים אשר הוכחו באמצעים אינסופיים. כך למשל השערת פרמה על העדר פתרונות למשוואות מסוימות במספרים שלמים הוכחה בשנת 1995 באמצעות כלים מתחום העקומים האליפטיים ותורת ההצגות האריתמטיות.

עם זאת, המתמטיקה המודרנית לפי משפטי האי-שלמות של גדל, בגלל חוזקה הרב, לא מסוגלת להוכיח משפטים מסוימים שיכולים להיות נכונים. יתרה מזאת, לא ניתן לספק הוכחה במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית לכך שתורת הקבוצות עצמה היא עקבית. כלומר, המתמטיקאים אינם יכולים להוכיח כי המתמטיקה אשר בידינו לא כוללת סתירות. לכן, המוטיבציה מאחורי האסכולה הקונסטרוקטיבית היא לפתח מתמטיקה בה אמנם נדע פחות, אך מה שנדע, ייתכן ויהיה פחות רגיש לסתירות והשלכות של משפטי אי השלמות של גדל.

מעבר לכך, העולם בו אנחנו חיים הוא סופי (ככל שאנחנו יכולים להבחין בחושינו) - המסה היא סופית, האנרגיה היא סופית ולפי הפיזיקה המודרנית אין משמעות פיזיקלית למרחקים קטנים מאורך פלאנק. האנליזה המתמטית, לעומת זאת, מבוססת על רעיון הנקודה, שאין לה גודל, כך שכל דבר בעל מידה חייב להיות מורכב מאינסוף נקודות.

אם כן, האסכולה הקונסטרוקטיבית מתנגדת לרעיונות של בנייה אינסופית שלא נגמרת. כך למשל: בהוכחתו של קנטור כי העוצמה אָלֶף אֶפֶס שונה מאלף, הוא מניח בשלילה כי קבוצת המספרים הממשיים בקטע [0,1] היא מעוצמה אלף אפס, מסדר את כל המספרים בטבלה אינסופית ובונה אלכסון לאורך הטבלה ומחליף כל ספרה לאורך האלכסון בספרה אחרת וכך בונה מספר אשר אינו בטבלה (האלכסון של קנטור). כך מושגת סתירה. לפי הגישה הקונסטרוקטיבית, הוכחה זו אינה קבילה כי היא עושה שימוש באלכסון באורך אינסופי וכו'. מאידך, לפי הקונסטרוקטיביזם לא ניתן בכלל לדבר על קבוצת המספרים הממשיים או בכלל על מספר ממשיים, כי מושגים אלו אינם קיימים בעולם, אלא רק במוחם של בני אדם.

כך למשל ניתן לספק פתרון פילוסופי להשערת הרצף - לא ידוע אם יש עוצמה בין אלף-אפס לאלף. לפי גדל וכהן הבעיה אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, ולכן מדובר בבעיה אמיתית ומעניינת אשר האקסיומות המקובלות כיום בתורת הקבוצות לעולם לא יהיו מסוגלות לענות עליה. אולם, אם מקבלים את השיטה הקונסטרוקטיבית הבעיה נעלמת כי לא ניתן להתייחס לעוצמה אלף.

דוגמה להוכחה לא קונסטרוקטיבית

על מנת להמחיש בצורה קונקרטית יותר את מושג הקונסטרוקטיביות, נציג להלן הוכחה לא קונסטרוקטיבית לעובדה הבאה: קיימים זוג מספרים אי רציונליים x וy כך ש $\,x^{y}$ הוא מספר רציונלי. הוכחה: נסמן $\,x=y={\sqrt {2}}$. ידוע כי השורש הריבועי של 2 אינו מספר רציונלי. אם $\,x^{y}$ הוא רציונלי הזוג x,y מהווה דוגמה לטענת המשפט. אחרת, נסמן $\,z=x^{y}$, ואז קל לוודא כי $\,z^{x}=({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2$ והזוג z,x מהווה דוגמה להוכחת המשפט. הוכחת המשפט אינה אומרת לנו מי הוא הזוג המקיים את טענת המשפט, אלא רק מראה כי זוג כזה קיים, ולכן היא אינה קונסטרוקטיבית.

קישורים חיצוניים

• קונסטרוקיביזם בספריית סטנפורד לפילוסופיה