עוצמת הרצף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

עוצמת הרצף היא העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, קרי |\mathbb R|. עוצמת הרצף מסומנת לרוב באות \!\ \aleph, וכן מקובלים גם הסימונים \mathfrak c ו-\beth_1לעוצמה זו.

רעיון האלכסון של קנטור מאפשר להוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת \!\ \aleph_0). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר \!\, \aleph=2^{\aleph_0}=\beth_1.

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם עוצמת הרצף היא העוצמה הקטנה ביותר מלבד עוצמת המספרים הטבעיים?" – ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר: כל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף, כלומר שמתקיים \aleph_1=\beth_1. דוד הילברט מנה את הבעיה הזו כראשונה מבין 23 הבעיות המפורסמות שלו. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה הוכיח קורט גדל, בשנת 1940, שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר אי אפשר להוכיחה ואי אפשר להפריכה, ולכן העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

לפי משפט קנטור לקבוצת החזקה עוצמת הרצף אינה העוצמה המקסימלית וקיימות אינסוף עוצמות גדולות ממנה, לדוגמה עוצמת אוסף תתי הקבוצות של אוסף המספרים הממשיים או קבוצת הפונקציות הממשיות.

דוגמאות לקבוצות בעלות עוצמת הרצף[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקבוצות חשובות רבות במתמטיקה יש עוצמה השווה לעוצמת הרצף. כמה מן המוכרות ביותר:

עוצמות של תתי קבוצות של הממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כחלק מהניסיונות להוכחת השערת הרצף, קנטור הוכיח כי העוצמה של כל קבוצה סגורה של ממשיים שאינה בת-מנייה היא עוצמת הרצף. ההוכחה מסתמכת על משפט קנטור-בנדיקסון הקובע כי כל קבוצה סגורה מורכבת מקבוצה מושלמת (אולי ריקה) ומאוסף בן מנייה של נקודות. כיוון שהעוצמה של כל קבוצה מושלמת לא ריקה היא עוצמת הרצף, מתקבלת שקבוצה סגורה אינה יכולה להוות סתירה להשערת הרצף. את התוצאה הזו ניתן להרחיב לכל קבוצת בורל - קבוצת בורל שאינה בת מניה תכיל תת-קבוצה מושלמת ולכן עוצמתה תהיה עוצמת הרצף. זו תוצאה של משפט עמוק יותר של דונלד מרטין - כל המשחקים על קבוצות בורל מוכרעים.