הלמה של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור .

הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לנקודה משותפת. בניסוח שקול ניתן לראות בבירור שזהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור: בהינתן סדרה אינסופית של קטעים סגורים, כך שכל קטע מכיל את הבאים אחריו, וקוטרי הקטעים שואפים לאפס, קיימת נקודה אחת המשותפת לכל הקטעים.

אחד משימושיה של הלמה של קנטור הוא הוכחת משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל, ששקולים לה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו שתי סדרות כך ש-. אם מתקיים אז שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים .

ניסוח שקול:

תהא סדרה של קטעים סגורים, כך שמתקיים . אם מתקיים אזי קיימת נקודה יחידה כך ש- לכל .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית, נראה כי אכן קיימת נקודה:
יהי הקטע כך ש: כלומר:

לכן, מונוטונית עולה ו מונוטונית יורדת. על כן:

ואז נטען כי:

חסומה, כלומר: ולכן היא מתכנסת.

חסומה, כלומר: ולכן גם היא מתכנסת.

נסמן: , כלומר מתקיים:

ולכן:


כעת נוכיח שהנקודה יחידה:

נניח כי הנקודות שונות, ובלי הגבלת הכלליות, כי
לכן מתקיים:

מהנתון ניתן להסיק: .

ואז: . ולכן, על פי כלל הסנדוויץ' מתקיים: כלומר:

בסתירה להנחה כי הנקודות שונות.

לכן קיימת נקודה יחידה: