הלמה של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא טענה שימושית הקובעת כי בחיתוך של סדרה יורדת של קטעים סגורים בישר הממשי, שהאורך שלהם שואף לאפס, יש נקודה יחידה. זהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור.

בניסוח אחר, הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לגבול משותף. בעזרת הלמה אפשר להוכיח את משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו שתי סדרות כך ש-. אם מתקיים אז שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים .

ניסוח שקול:

תהא סדרה של קטעים סגורים , כך שמתקיים . אם מתקיים שאורכי הקטעים שואפים לאפס, כלומר אזי קיימת נקודה יחידה כך ש- שייכת לכל הקטעים, כלומר לכל או .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית, נראה כי אכן קיימת נקודה:

מכך ש- נובע כי לכן מונוטונית עולה ו- מונוטונית יורדת. כמו כן, חסומה מלרע למשל ע"י ולכן מתכנסת לאינפימום שלה, באופן דומה חסומה מלעיל למשל ע"י ולכן מתכנסת לסופרימום שלה. בנוסף, מהנתון ולכן מאריתמטיקה של גבולות נקבל כי

נסמן: , קיבלנו כי קיימת נקודה כך ש-, כלומר לכל מתקיים .
כעת נוכיח שהנקודה יחידה:

כל נקודה בחיתוך הקטעים מקיימת ; לו היו שתי נקודות בחיתוך, היינו מקבלים ואז , בסתירה.

הכללה למרחבים מטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

למת החיתוך של קנטור נכונה בכל מרחב מטרי שלם, בנוסח הבא: לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שהקוטר שלהן שואף לאפס, יש נקודה משותפת יחידה. תכונה זו מאפיינת מרחבים מטריים שלמים. תכונת החיתוך מתקיימת במרחב מטרי קומפקטי גם ללא התנאי על הקוטר השואף לאפס, אבל במרחב מטרי שלם שאינו קומפקטי התנאי הזה נחוץ (כפי שמראה סדרת הקרניים הימניות ).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]