השתנות חסומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה תהי חלוקה של הקטע בצורה הבאה:


נגדיר את ההשתנות של לפי להיות:

כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע להיות:

כאשר ההשתנות הכללית של בקטע היא ערך ממשי סופי, תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה היא בעלת השתנות חסומה בקטע ומתקיים שם .
  • כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים .
  • כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע כך ש-.
  • פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל .
  • הפונקציה המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.

תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • צירוף לינארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
  • פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה (ולכן אינטגרבילית). הסיבה לכך נובעת ישירות מהאי-שיווין הפשוט שנובע מחלוקה של הקטע בנקודה אחת :
ולכן לכל ב-.
הכיוון ההפוך לא נכון כפי שמודגם בדוגמאות.
  • פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות
שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים:
כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף לינארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.