ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/קורסים/תורת הקבוצות/כיתת לימוד/רוליג

שיעורי בית של משתמש:רוליג

שיעור 3

תרגיל. כמה איברים יש בכל אחת מהקבוצות $\ \{\emptyset \}$, $\ \{\{\emptyset \}\}$ ו-$\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$? האם הן שוות או שונות? הוכח.

בקבוצה השלישית שני איברים ואילו באחרות איבר אחד בכל קבוצה. זה בלבד מוכיח שקבוצה 3 שונה מהשתיים האחרות. הקבוצה הראשונה מוכלת בשניה ולכן איבריה שונים - מה שאומר שהקבוצות שונות.

הכל נכון מלבד המשפט האחרון. ראשית, אם קבוצה מוכלת בשנייה אין זה אומר שהן שונות. לפי הגדרת ההכלה כל קבוצה מוכלת בעצמה כך שתת קבוצה יכולה להיות שווה לקבוצה בה היא מוכלת. שנית, אין זה נכון שקבוצה 1 מוכלת בקבוצה 2. קבוצה 1 שייכת לקבוצה 2, כלומר היא איבר של קבוצה 2. אם לא ברור לך מה ההבדל בין הכלה לשייכות אנא קרא שוב את השיעורים הרלוונטים ואם עדין לא ברור תנסה להסביר לי מה מבלבל אותך. בשביל להראות ששתי קבוצות שונות צריך להראות שהן לא שוות, ולכן לפי ההגדרה שלנו לשיוויון נוכל להגיד ששתי קבוצות הן שונות אם נוכל למצוא איבר שיש באחת ואין בשנייה. במקרה הזה הקבוצה הריקה היא איבר של 1 אבל לא של 2 ולכן הן שונות. דניאל ב. 20:59, 28 בספטמבר 2010 (IST)

תודה על התיקון. ברור לי ההבדל בין שייכות להכלה כיוון שכבר טעיתי בכך באחד השיעורים הקודמים .

כוונתי היתה שהיא שייכת לקבוצה 2, זאת אומרת היא איבר בקבוצה 2. אם ניח לרגע שהן שוות, אז בהכרח גם קבוצה 2 שייכת לקבוצה 1, וכיוון שהאיבר היחיד בקבוצה 1 היא הקבוצה הריקה משמע שאין בקבוצה 2 כלל איברים, מה שסותר את מה שידוע לנו על הקבוצה ולכן בהכרח לא נכון. הוכחה קצת מסורבלת אבל אני מוצא אותה משעשעת. האם קבוצה יכולה שייכת לעצמה? נראה לי שלא, אבל אני לא יודע להסביר למה. בטח יש איזה פרדוקס שנוגע בכך. • רוליג • שיחה • אמצו חתול 01:27, 29 בספטמבר 2010 (IST)

הוכחה חמודה , השתמשת בטכניקה נפוצה הנקראת הוכחה על דרך השלילה (הנחת שמתקיים שוויון והראת שזה מוביל לסתירה). עקרונית עם ההגדרות שאנו עובדים איתן בקורס אפשרי שקבוצה תהיה שייכת לעצמה אך לא נכנס לכך בכלל. ככל הידוע לי באקסיומות המקובלות בימנו במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית הדבר אינו אפשרי, אך נדמה לי שקיימות מערכות פחות סטנדרטיות בהן הדבר אפשרי ולא מוביל לסתירה. דניאל ב. 11:53, 29 בספטמבר 2010 (IST)

שיעור מספר 2

שאלה 1

• עבור כל אחד מהאובייקטים הבאים הגדירו האם הוא קבוצה או לא:
  • {1} - קבוצה בעלת איבר 1
  • {1,2,3} - קבוצה בעלת 3 איברים
  • $\emptyset$ - קבוצה חסרת איברים
  • {$\emptyset$} - קבוצה בעלת איבר אחד
  • שברולט - לא קבוצה
  • כל ילדי סין - קבוצה בעלת הרבה איברים אך בגודל סופי
  • {1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,$\emptyset$} - קבוצה בעלת 3 איברים
  • {1,{2,3}} - קבוצה סופית בת 2 איברים
  • {{1,2},{2,2}} - קבוצה סופית בת 2 איברים
  • כל המספרים בני שלוש ספרות הניתנים לבניה מהספרות 1,2,3 - קבוצה סופית בת 27 איברים אם אפשר להשתמש בכל ספרה מספר פעמים או בת 6 איברים אם לא.
    • ספרת ממש את כל האפשרויות כדי לקבל 6 ו-27 או שאתה מכיר את השיטה לחשב את זה? אולי הקורס הבא יהיה בקומבינטוריקה :-). דניאל ב. 14:54, 17 בספטמבר 2010 (IST)
      • אני לא למדתי מעולם קומבינטוריקה, אבל נראה לי שחישבתי את העניין בצורה אינטואיטיבית (הספרה הראשונה יכולה להיות אחת משלוש אפשרויות, השנייה אחת משתיים או שלוש ולכן יש לנו 6 או 9 אפשרויות והשלישית יכולה להיות זו שנותרה או אחת משלוש נוספות ולכן יש לנו 6 או 27 אפשרויות בהתאמה. זה כנראה קומבינטוריקה). • רוליג • שיחה • אמצו חתול 01:13, 18 בספטמבר 2010 (IST)
        • יפה, יש לך אינטואיציה קומבינטורית, לא לכולם יש כשרון כזה . באופן כללי החישובים שערכת מתאימים לפעולות n! (עצרת) ו-nⁿ. תציב בהם n=3 ותקבל את 6 ו-27. דניאל ב. 13:22, 18 בספטמבר 2010 (IST)
  • {1...10} - - קבוצה בת 10 איברים.
• עבור כל אחד מהאובייקטים עבורם החלטתם שהם קבוצה, כתבו האם הוא קבוצה סופית או קבוצה אינסופית. במידה ומדובר בקבוצה סופית, מהו מספר האיברים בה?

שאלה 2

• קבע ועבור כל אחד מהבאים האם הוא איבר או שאינו איבר בתוך הקבוצה המתאימה (השתמשו בסימון מתמטי מתאים).
  • $1\in \{1\}$
  • $1\in \{1,2,3\}$
  • $1\in \{1,1,1,1,2,2,2,2\}$
  • {ערים לחופו של ים-המלח} $\not \in$ זכרון יעקב
  • $1\in \{1,\{2,3\}\}$
  • $2\not \in \{1,\{2,3\}\}$
  • $\{2,3\}\in \{1,\{2,3\}\}$
  • $3\not \in \emptyset$
  • $\emptyset \in \{3\}$
  • {אנשים שלא נולדו באירופה} $\in$משה דיין

שאלה 3

• עבור כל אחד מהאיברים הבאים, מצא קבוצה שהוא מתאים לה:
  • {חיות בעלות זכרון ארוך] $\in$ פיל
  • {דמויות משירי ילדים} $\in$ שפן
  • {קבוצות מהשאלה הקודמת} $\in$ $\emptyset$
  • {ג'נרל מוטורס} $\in$ שברולט
  • {דברים שלא משאירים לי זמן פנוי} $\in$ קורסים בוויקיפדיה
  • {התשובות לחיים היקום ולכל השאר} $\in$ 42
• מהם שלושת האיברים הראשונים בקבוצת המספרים הטבעיים? 1, 2, 3.