זרימה פוטנציאלית דו-ממדית

במכניקת הזורמים, זרימה פוטנציאלית דו-ממדית היא זרימה דו-ממדית אידיאלית בלתי דחיסה ולא רוטציונית. זרימה זו ניתנת לתיאור באמצעות פונקציית פוטנציאל סקלרית $\varphi$, וכן באמצעות פונקציית זרם סקלרית $\psi$.

בזרימה פוטנציאלית דו-ממדית פונקציית הזרם ופונקציית הפוטנציאל מקיימות את משוואת לפלס, כלומר $\nabla ^{2}\varphi =\nabla ^{2}\psi =0$.

אפשר לנתח זרימה פוטנציאלית דו-ממדית בפשטות על ידי שימוש בהעתקה קונפורמית למישור המרוכב. באמצעות ניתוח זה, הזרימה מתוארת על ידי פונקציה מרוכבת הולומורפית (או מרומורפית) הנקראת פונקציית הפוטנציאל המורכבת ומקיימת$\varphi +i\psi =\omega =f(z)=f(x+iy)$.

תכונות

כל זרימה לא רוטציונית במרחב פשוט קשר יכולה להיות מתוארת על ידי פוטנציאל סקלרי $\varphi$ כאשר מתקיים $\mathbf {u} =\nabla \varphi$. כל זרימה המתוארת על ידי פוטנציאל סקלרי היא זרימה לא רוטציונית מאחר ש-$\nabla \times \mathbf {u} =\nabla \times (\nabla \varphi )=0$. באופן דומה, כל זרימה דו־ממדית בלתי דחיסה יכולה להיות מתוארת על ידי פונקציית זרם סקלרית $\psi$ כאשר מתקיים $\mathbf {u} =\nabla \times (\psi {\hat {\mathbf {k} }})$, וכל זרימה הניתנת להצגה כזו תהיה בלתי דחיסה מאחר ש-$\nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\nabla \times (\psi {\hat {\mathbf {k} }}))=0$. זרימה המקיימת את שתי התכונות האלו נקראת זרימה פוטנציאלית דו־ממדית. במקרה כזה מתקיים:

$\nabla ^{2}\varphi =\nabla \cdot \mathbf {u} =0;-\nabla ^{2}\psi \ {\hat {\mathbf {k} }}=-\nabla ^{2}(\psi {\hat {\mathbf {k} }})=\nabla \times (\nabla \times (\psi {\hat {\mathbf {k} }}))-\nabla (\nabla \cdot (\psi {\hat {\mathbf {k} }}))=\nabla \times \mathbf {u} =0\implies \nabla ^{2}\psi =0$

כלומר הפוטנציאל ופונקציית הזרם מקיימות את משוואת לפלס.

קווי זרם הם קווים המקבילים לזרימה בכל נקודה בזרימה, כלומר קו זרם מקיים ${\frac {d{\vec {x}}}{ds}}\times \mathbf {u} ({\vec {x}})=0$ באמצעות תכונת פונקציית הזרם נקבל שהשינוי בפונקציית הזרם לאורך קו הזרם מקיים:

${\frac {d\psi }{ds}}={\frac {d\psi }{dx}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {d\psi }{dy}}{\frac {dy}{ds}}=-{\frac {dx}{ds}}u_{y}+{\frac {dy}{ds}}u_{x}=-\left({\frac {d{\vec {x}}}{ds}}\times \mathbf {u} \right)\cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0$

ולכן קווים שעליהם $\psi =\mathrm {const}$ הם קווי זרם. קווים שעליהם $\varphi =\mathrm {const}$ נקראים קווים שווי-פוטנציאל.

קווים שווי-פוטנציאל וקווי זרם ניצבים זה לזה מכיוון ש:

$\nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0$

העתקה קונפורמית

כל זרימה פוטנציאלית דו־ממדית ניתנת למיפוי על ידי העתקה קונפורמית לפונקציה מרוכבת הולומורפית. גם ההפך הוא נכון, וכל פונקציה הולומורפית או מרומורפית מתארת זרימה דו־ממדית. נוכיח כעת טענה זו:

נגדיר את ההעתקה הממפה את המישור הפיזיקלי $(x,y)$ אל מישור ההעתקה $(\varphi ,\psi )$ כאשר $x,y,\varphi$ ו-$\psi$ הן פונקציות ממשיות. נוח להגדיר את הגדלים המרוכבים:

$z=x+iy$

$w=\varphi +i\psi$

כעת, אם:

$f(z)=w\iff f(x+iy)=\varphi +i\psi$

אז, מפני ש-$f$ היא פונקציה הולומורפית או מרומורפית, היא חייבת לקיים את משוואות קושי-רימן:

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

ולכן, נזהה את שדה המהירות $\mathbf {u} =(u,v)$ עם:

$u={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},v={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

זיהוי זה מוביל לכך ש-$\varphi$ מזוהה עם פונקציית הפוטנציאל המהירות ואת $\psi$ עם פונקציית הזרם. הפונקציה $f$ נקראת הפוטנציאל המרוכב של הזרימה.

את רכיבי המהירות ניתן לקבל באופן ישיר מ-$f$ אם נגזור את $f$ לפי $z$, כלומר:

${\frac {d{\bar {f}}}{dz}}=u+iv$

נשים לב שהולומרפיות $f$ גוררת שגם $\varphi$ וגם $\psi$ מקיימות את משוואת לפלס:

$\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}},\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}$

ובתאם לסעיף הקודם התנאי $\nabla ^{2}\psi =0$ שקול לתנאי $\nabla \times \mathbf {u} =0$ ולכן הזרימה אי רוטציונית, והתנאי האוטומטי ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}$ מכתיב את התנאי לאי דחיסות $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$.

דוגמאות לזרימה פוטנציאלית דו־ממדית

קווי הזרימה (בכחול) וקווים שווי פוטנציאל (בטורקיז) עבור זרימה בה n=1/2. זרימה זו מתארת זרימה מסביב משטח חצי אינסופי.

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרימה בה n=2/3. זרימה זו מתארת זרימה בקרבת פינה ברביע הרביעי.

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=1. זרימה זו מתארת זרימה מציפה

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=3/2. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינ בת 120 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=2. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינה בת 90 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=3. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינה בת 60 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=-1. זרימה זו מתארת זרימה מדובלט

הערות כלליות

ניתן להציב ב-$f$ כל פונקציה דיפרנציאבילית. בדוגמאות הבאות נשתמש במגוון של פונקציות אלמנטריות; ניתן להשתמש גם בפונקציות מיוחדות. נשים לב כי פונקציות שאינן חד-ערכיות כמו הלוגריתם הטבעי גם כן ניתנות למימוש, אבל צריכים להגביל אותן למשטח רימן אחד.

התנהגות חזקות

במקרה שחזקות מופעלות על המפה הקונפורמית מעבירים את $z=x+iy$ אל $w=\varphi +i\psi$ לפי:

$w=Az^{n}$

לאחר מכן על ידי כתיבה של z בקואורדינטות פולריות $z=x+iy=re^{i\theta }$ נקבל

$\psi =Ar^{n}\sin(n\theta )$ ו-$\varphi =Ar^{n}\cos(n\theta )$

באיורים משמאל ניתן לראות דוגמאות עבור ערכים שונים של n, הקווים השחורים מתארים את גבולות הזרימה (פינה, משטח אופקי וכו'), הקווים הכחולים הכהים מתארים את קווי הזרם והקווים הכחולים הבהירים את הקווים שווי הפוטנציאל. כמה חזקות מעניינות כתלות ב-n:

• $n={\frac {1}{2}}$ מתאר זרימה סביב משטח חצי אינסופי.
• $n={\frac {2}{3}}$ מתאר זרימה ליד פינה ימנית.
• $n=1$: מקרה טריוויאלי של זרימה מציפה.
• $n=2$: זרימה היוצאת מפינה או נקודת סטגנציה.
• $n=-1$: זרימה הנוצרת כתוצאה מזוגן (דובלט).

המספר $A$ הוא פרמטר אשר מתאר את הזרימה, כאשר $|A|$ מתאר את העוצמה, בעוד שהארגומנט $arg[A]$ מייצג סיבוב של הזרימה מסביב לציר $z$.

התנהגות חזקות עבור n = 1 זרימה מציפה

אם $w=Az^{1}$ כלומר, n=1, קווי הזרם (כלומר הקווים שעליהם $\psi =const$) מהווים מערכת של קווים ישרים המקבילים לציר $x$ (כאשר $A$ ממשי). קל לראות זאת על ידי פירוק לרכיבים ממשיים ומדומים:

$f(x+iy)=A(x+iy)=Ax+iAy$

מכאן שמתקיים $\varphi =Ax$ ו-$\psi =Ay$, זרימה זו נקראת זרימה מציפה בכיוון $x$.

התנהגות חזקות עבור n = 2

אם $n=2$ אז $w=Az^{2}$ וקווי הזרם המתאימים לערך קבוע מסוים של $\psi$ מקיימים את המשוואה:

$\psi =Ar^{2}\sin(2\theta )$

אשר מתארת מערכת של קווים היפרבוליים. ניתן להראות זאת על ידי פירוק לרכיבים (ממשיים ומרוכבים), נשים לב כי $\sin(2\theta )=2\cos(\theta )\sin(\theta )$ ובהצבה של $\sin(\theta )={\frac {y}{r}}$ ו-$\cos(\theta )={\frac {x}{r}}$ ניתן להראות (אחרי פישוט) שהמשוואה המתארת את קווי הזרם היא:

$\psi =2Axy$

שדה המהירות נתון על ידי $\nabla \varphi$ או:

${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2Ax\\-2Ay\end{pmatrix}}$

זרימה זו היא הזרימה ליד נקודת סטגנציה. נשים לב שהזורם נמצא במנוחה בנקודה $z=0$ (מתקבל מכך שהנגזרת של פונקציית הפוטנציאל המרוכבת מקיימת $\left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z=0}=2z=0$ ). קו הזרם שבו $\psi =0$ מעניין במיוחד מכיוון שיש לו שני (או ארבעה) ענפים אשר עוקבים אחרי הצירים כלומר $x=0$ ו-$y=0$. מכיוון ששום זורם לא זורם על ציר $x$, נוכל להתייחס אליו כאל גבול מוצק. ולכן אפשר להתעלם המזרימה בחצי המישור השלילי $y<0$ ולהתרכז בזרימה בחצי המישור העליון. עם תובנה זו ניתן לדמות את זרימה זו לזרימה שנוצרת כתוצאה מהטזת סילון מים אנכי על מישור אופקי. ניתן גם לדמות את הזרימה כזרימה ליד פינה ישרה ($90^{\circ }$) אם מסתכלים על האזור בו $x>0$ וגם $y>0$.

התנהגות חזקות עבור n = 3

אם n = 3 הזרימה המתקבלת דומה לזרימה עבור n = 2 רק שכאן הזווית של הפינה שווה ל-$60^{\circ }$. קווי הזרם מקיימים:

$\psi =3x^{2}y-y^{2}$

התנהגות חזקות עם n = -1 (זוגן)

אם n = -1 קווי הזרם נתונים על ידי:

$\psi =-{\frac {A}{r}}\sin(\theta )$

ובפירוק לרכיבים:

$\psi =-{\frac {Ay}{r^{2}}}=-{\frac {Ay}{x^{2}+y^{2}}}$

$x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}=0$

$x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}$

ולכן קווי הזרם הם מעגלים אשר ניצבים לציר ה-$x$ בגובה של המקור. המעגלים בחצי המישור העליון זורמים בכיוון השעון והמעגלים בחצי המישור התחתון נגד כיוון השעון. נשים לב שרכיבי המהירות פרופורציונליים ל-$r^{-2}$ ושהערכים שלהם במקור הם אינסופיים. לצורת הזרימה קוראים זוגן (דובלט), וניתן לדמות זוגן על ידי מקור ובור בעוצמה מסוימת אשר ממוקמים במרחק קטן מאוד (או אפילו אינפיניטסימלי) זה מזה. שדה המהירות נתון על ידי:

$(u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},-A{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)$

ובקואורדינטות פולריות:

$(u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)$

התנהגות חזקות עם n = -2 (קוואדרופול)

אם n = -2 קווי הזרם הם:

$\psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin(2\theta )$

זרימה זו נקראת זרימה קוואדרופולית.

מקור ובור

עבור מקור או בור ניתן להגדיר את פונקציית הפוטנציאל המרוכבת על ידי $\omega ={\frac {Q}{2\pi }}\ln {z}$ (נשים לב ש-$\omega$ איננה חד ערכית) כאשר עבור $Q<0$ מתקבל בור ועבור $Q>0$ מקור. $Q$ הוא פרמטר המתאר את השטף הזורם דרך מעגל המקיף את המקור/בור. בקואורדינטות פולריות זרימה זו מקיימת $u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}};u_{\theta }=0$. כלומר הזרימה היא רדיאלית.

מערבולת

עבור מערבולת פונקציית הפוטנציאל המרוכבת מוגדרת על ידי $\omega ={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln {z}$ (נשים לב ש-$\omega$ איננה חד ערכית). $\Gamma$ הוא פרמטר המתאר את הסירקולציה על מעגל המקיף את הערבולת. בקואורדינטות פולריות זרימה זו מקיימת $u_{r}=0;u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$. כלומר הזרימה היא אזימוטלית.