פונקציה הולומורפית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
כל פונקציה הולומורפית שנגזרתה איננה מתאפסת בנקודה כלשהי היא קונפורמית בה - היא העתקה משמרת זווית בין עקומים (בתמונה - תמונתה של רשת מלבנית תחת העתקה קונפורמית).

פונקציה הולומורפית היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה. אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.

ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה בין קבוצות קשירות ופתוחות במישור המרוכב, שקיימת לה נגזרת מרוכבת בסביבת כל נקודה בתחומה.

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור 2 המשתנים הממשיים - משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי רימן[1].

האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית. פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות. אף אחד מן הדברים הלא נעימים הללו לא יכול לקרות באנליזה המרוכבת. אם פונקציה היא הולומורפיות, גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית (ולכן היא גם גזירה אינסוף פעמים). יתרה מזאת - יש לה יצוג כטור חזקות; לכן כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. גם המשפט ההפוך נכון - כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. יש לציין אמנם, שלא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות ההלו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית באנליזה המרוכבת.

החשיבות העיקרית של הפונקציות ההולומורפיות נובעת מהעובדה שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים הן הולומורפיות. למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט ופונקציית הזטא של רימן - כולן פונקציות הולומורפיות. משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה גדול הוא המגוון האפשרי של הפונקציות ההולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.

בנוסף, לפעמים קוראים לפונקציות הולומורפיות בשם פונקציות רגולריות.

פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.

טרמינולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המונח "הולומורפית" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי[2], בריו (1817–1882) ובוקה (1819–1895), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה. כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, למרות שהאחרון הוא מושג כללי יותר.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ U\subseteq\mathbb{C} קבוצה קשירה ופתוחה במישור המרוכב. תהא \ f:U\rarr\mathbb{C} פונקציה מרוכבת. נאמר ש-\ f גזירה במובן המרוכב בנקודה \ z_0\isin U אם הגבול (1) \ f'(z_0)=\lim_{z\rarr z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} קיים. הנקודה החשובה בהגדרה הזו היא שהגבול (1) חופשי מבחירת המסלול שיעשה המשתנה z בדרכו לנקודה z_0 - דהיינו שהגבול (1) אכן קיים כאשר |z-z_0| שואף לאפס.

קיום הגבול (1) הוא מצב שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את f(z) - אלו הן משוואות קושי רימן - ועל ידי תכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את \ f.

אם הפונקציה \ f גזירה בכל נקודה \ z_0\isin U, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה \ U. ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא: \ f היא הולומורפית בנקודה \ z_0 אם היא גזירה ב-\ z_0 ובסביבה של \ z_0. שקילות שני הניסוחים נובעת ממשמעות מושג הקבוצה הפתוחה: קבוצה פתוחה היא קבוצה בה לכל נקודה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט \ e^z, ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (הניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט). הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.

כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן  \ z \mapsto \mbox{Re} (z), z \mapsto \mbox{Im}(z), z \mapsto \bar z. דוגמה נוספת היא הפונקציה \textstyle z \mapsto \frac{1}{z}. פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה \ z_0=0, (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה \ \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}. עם זאת, קיים הגבול \lim_{z \to 0} \textstyle \frac{1}{z} = \infty ולכן הפונקציה מתנהגת יפה, במובן מסוים. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה פונקציה מרומורפית באותו התחום.

קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה \ e^{\frac{1}{z} } אין כלל גבול בנקודה \ z=0. נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת - לפי המשפט הגדול של פיקארד, אם \ f פונקציה הולומורפית בתחום, ו  \ z_0 סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של  \ z_0 היא \mathbb{C} כולה, למעט אולי נקודה אחת.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדגמה של תכונת הקונפורמיות. מוצגות שתי מסילות ישרות ותמונותיהן תחת ההעתקה  f(z) = i \cdot z^3. ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן
  • פונקציה הולומורפית היא רציפה.
  • סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
  • מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
  • כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
  • ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום. זאת לפי נוסחת האינטגרל של קושי.
  • פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם נקודת הצטברות. זהו משפט היחידות.
  • פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית - היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה-\ n מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי \ n.
  • עקרון המקסימום - פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (בערך מוחלט) בפנים התחום, אלא רק על שפתו.

אנליטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מנוסחת האינטגרל של קושי. די להראות זאת סביב 0. אם f הולומורפית בעיגול D, אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל z בפנים של D:

f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, dw

מכיוון ש-|z/w|<1 את האינטגרנד אפשר לפתח לטור הנדסי ולקבל:

f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, dw = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} f(w)\sum_{n=0}^\infty{z^n \over w^{n+1}}\, dw = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, dw

כאשר ההתכנסות מובטחת ממבחן M של ויירשטראס. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, dw = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n

כלומר טור טיילור של f מתכנס אליה.

הערה[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן אנלוגי לאמור לעיל, פונקציה מרוכבת בכמה משתנים ההולומורפית ביחס לכל משתנה בנפרד נקראת גם היא פונקציה הולומורפית. גם במקרה זה ניתן להוכיח שפונקציה הולומורפית בכמה משתנים היא אנליטית (משפט הארטוגס).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה
  1. ^ אך לא בהן בלבד. על הפונקציה הממשית הזו להיות גם דיפרנציאבילית. ניתן להגיע למשוואות ללא קושי רב אם לוקחים בחשבון שפונקציה הולומורפית היא כזו שנגזרתה בנקודה כלשהי איננה תלויה במסלול שעושה המשתנה בדרכו לנקודה, והקורא עשוי למצוא עניין בלגלות את המשוואות בכוחות עצמו.
  2. ^ ממייסדי התחום הבולטים