זרימת ריילי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

זרימת ריילי מתייחסת לזרימה לא אדיאבטית בתוך צינור בעל שטח חתך קבוע כאשר מתחשבים בהוספה וסילוק חום. במקרים רבים קיימת התחשבות בדחיסות הזורם, אם כי מודל זרימת ריילי חל גם עבור זורם בלתי דחיס. עבור מודל זה שטח החתך נשאר קבוע ללא הוספת מסה בתוך הצינור, לכן בניגוד לזרימת פאנו טמפרטורת הסטגנציה משתנה. הוספת החום גורמת למפל בלחץ הסטגנציה, הידוע כאפקט ריילי וקריטי לתכנון מערכות בעירה. הוספת חום גורמת למספר מאך עבור זרימה תת-קולית וגם עבור זרימה על-קולית להתקרב למהירות קולית M=1, ולגרום לזרימה חנוקה. לעומת זאת, סילוק חום גורמת למספר מאך התת-קולי לרדת ולמספר מאך העל-קולי לעלות לאורך הצינור. ניתן לראות כי עבור זורמים אידאלים האנטרופיה המקסימלית נוצרת ב M=1. זרימת ריילי נקראת על שמו של ג'ון ויליאם סטראט ריילי.

תאוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 1 קו ריילי על צירי H-ΔS האל-ממדיים.

מודל זרימת ריילי מתחיל עם משוואה דיפרנציאלית המתייחסת לשינוי במספר מאך עם השינוי בטמפרטורת סטגנציה, T0. המשוואת הדיפרנציאלי מוצגת למטה.

\ \frac{dM^2}{M^2} = \frac{1 + \gamma M^2}{1 - M^2}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\frac{dT_0}{T_0}

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית מוביל ליחס המוצג למטה, בו T0* היא טמפרטורת הסטגנציה במיקום צוואר של הצינור אשר דרוש לחנק של הזורם.

\ \frac{T_0}{T_0^*} = \frac{2\left(\gamma + 1\right)M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)

ערכים אלה הם משמעותיים בעיצוב של מערכות בעירה. לדוגמה, אם בתא בעירה סילוני יש טמפרטורה מרבית של T0* = 2000 K, אזי T0 ומספר מאך בכניסה לתא הבעירה חייבים להיבחר אחרת לא תהיה חניקה של הזורם, אשר יגביל את שיעור הספיקה המסית של האוויר לתוך המנוע ויפחית את הדחף. למודל זרימת ריילי, שינוי הממדים ביחס אנטרופיה מוצג למטה.

\ \Delta S = \frac{\Delta s}{c_p} = ln\left[M^2\left(\frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{\gamma}\right]

מהמשוואה הקודמת ניתן להציג קו ריילי של השתנות האנטרופיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך, אולם היחס בין האנתלפיה האל-ממדית לאנטרופיה נמצא בשימוש רב יותר. האנתלפיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מוצגת למטה, כאשר היא מבטאת את היחס בין האנתלפיה במקום מסוים לאנתלפית חניקה. עבור גז אידאלי יחס זה שווה ליחס הטמפרטורות התואמות כאשר cp הוא קיבול חום בלחץ קבוע.

\begin{align}
H &= \frac{h}{h^*} = \frac{c_pT}{c_pT^*} = \frac{T}{T^*} \\
\frac{T}{T^*} &= \left[\frac{\left(\gamma + 1\right)M}{1 + \gamma M^2}\right]^2
\end{align}

מהמשוואות הנ"ל ניתן לבנות גרף (איור 1) של אנתלפיה אל-ממדית H ואנטרופייה אל-ממדית ΔS כאשר מספר מאך M הוא משתנה חופשי. איור 1 מראה כי חימום יגדיל את מספר מאך התת-קולי במעלה הזרם למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם, בניגוד למספר מאך על-קולי אשר בתוספת חום במעלה הזרם יקטן למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם. קירור יבצע פעולה הפוכה עבור כל אחד משני המקרים. מודל זרימת ריילי משיג אנטרופיה מקסימלית עבור M=1.

יחסים נוספים בזרימת ריילי[עריכת קוד מקור | עריכה]

חימום קירור
תכונה M<1 M>1 M<1 M>1
אנטרופיה s \Uparrow      \Uparrow \Downarrow\Downarrow
טמפרטורת סטגנציה T_0 \Uparrow\Uparrow \Downarrow\Downarrow
טמפרטורה M<\frac{1}{\sqrt{k}} \Uparrow\Uparrow \Uparrow\Uparrow
טמפרטורה (\frac{1}{\sqrt{k}}<M<1) \Downarrow \Uparrow
מספר מאך M \Uparrow\Downarrow \Downarrow\Uparrow
לחץ p \Uparrow\Downarrow \Uparrow\Downarrow
מהירות v \Uparrow\Downarrow \Downarrow\Uparrow
צפיפות \rho \Downarrow\Uparrow \Uparrow\Downarrow
לחץ סטגנציה P_0 \Downarrow\Downarrow \Uparrow\Uparrow

בזרימת ריילי שטח החתך והספיקה המסית נשארים קבועים לאורך הזרימה.

\begin{align}
A &= A^* = \mbox{constant} \\
\dot{m} &= \dot{m}^* = \mbox{constant} \\
\end{align}

פתרון המשוואות הדפרנציאליות מניב יחסים של תכונות נוספות בזרימת ריילי ביחס לנקודת החניקה אשר מסומנת בסימון *, כגון: לחץ, צפיפות, טמפרטורה, מהירות, ולחץ סטגנציה, כפי שמוצג למטה בהתאמה. באיור 2 ניתן לראות את השתנות הערכים במקרים השונים.

\begin{align}
\frac{p}{p^*} &= \frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2} \\
\frac{\rho}{\rho^*} &= \frac{1 + \gamma M^2}{\left(\gamma + 1\right)M^2} \\
\frac{T}{T^*} &= \frac{\left(\gamma + 1\right)^2M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2} \\
\frac{V}{V^*} &= \frac{\left(\gamma + 1\right)M^2}{1 + \gamma M^2} \\
\frac{p_0}{p_0^*} &= \frac{\gamma + 1}{1 + \gamma M^2}\left[\left(\frac{2}{\gamma + 1}\right)\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\right]^\frac{\gamma}{\gamma - 1}
\end{align}

יישומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 3 תרשים הצטלבות של פאנו וריילי.

למודל זרימת ריילי שימושים אנליטים רבים, בעיקר במנועי סילון, מכיוון שבדרך כלל תא הבעירה בעל שטח חתך קבוע, כמו כן תוספת הדלק זניחה כך שניתן להתייחס לזרימה כבעלת ספיקה קבועה. תכונות אלו הופכות את מודל זרימה ריילי ישים עבור תוספת חום בזרימה דרך תא בעירה. ייצירת גל הלם בתוך תא הבעירה כתוצאה מחניקה של הזורם מאוד לא רצויה מפני שיכולה לגרום לירידה בספיקה המסית ובכך לירידה בדחף. לכן מודל זרימת ריילי הינו קריטי לתכנון התחלתי של הגאומטריה וטמפרטורת הבעירה של המנוע. מודל זרימה ריילי נמצא גם בשימוש נרחב במודל זרימה פאנו. שני מודלים אלה מצטלבים בנקודות על גרף האנתלפיה-אנטרופיה וגרף מספר מאך-אנטרופיה דבר המשמעותי למגוון שימושים. עם זאת, ערכי האנטרופיה עבור כל מודל אינם שווים במצב הקולי M=1. הנגזרת של האנטרופיה מתאפסת ב M=1 בשני המודלים, אך מההצהרה הקודמת ניתן להבין כי השינוי באנטרופיה מאותה נקודה שרירותית עד לנקודה הקולית M=1 הינו שונה עבור המודלים של פאנו וריילי. אם נתונים ערכים התחלתיים של אנטרופיה Si ומספר מאך Mi, משוואה חדשה של אנטרופיה אל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מתקבלת עבור כל מודל. משוואה זו מוצגת למטה עבור מודל זרימה פאנו וריילי, בהתאמה.

\begin{align}
\Delta S_F &= \frac{s - s_i}{c_p} = ln\left[\left(\frac{M}{M_i}\right)^\frac{\gamma - 1}{\gamma}\left(\frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M_i^2}{1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{2\gamma}\right] \\
\Delta S_R &= \frac{s - s_i}{c_p} = ln\left[\left(\frac{M}{M_i}\right)^2\left(\frac{1 + \gamma M_i^2}{1 + \gamma M^2}\right)^\frac{\gamma + 1}{\gamma}\right]
\end{align}

איור 3 מציג את הצטלבות קווי ריילי ופאנו עבור תנאי התחלה Si=0 Mi=3 נקודת ההצטלבות מחושבת באמצעות השוואת משוואות האנטרופיה האל ממדית החדשות האחת עם השנייה, מתקבלת המשוואה הבאה.

\ \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M_i^2\right)\left[\frac{M_i^2}{\left(1 + \gamma M_i^2\right)^2}\right] = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)\left[\frac{M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2}\right]

בצורה מעניינת, ההצטלבות נוצרת במספר מאך הראשוני ובמספר מאך לאחר גל הלם מאונך. עבור איור 3, הערכים הם M=3 ו- M=0.4752 ערכים אלו ניתן למצוא בטבלאות עבור גל הלם ניצב בספרים רבים העוסקים בזרימה דחיסה. זורם נתון בשטח חתך קבוע יכול להחליף בין שני המודלים, פאנו וריילי, עבור אותן נקודות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]