חבורות מתיו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות \ M_{9}, M_{10}, M_{11}, M_{12} ו- \ M_{21}, M_{22}, M_{23}, M_{24}, שמהן \ M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24} הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם \ M_{21} פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות \ \operatorname{PSL}_3(\mathbb{F}_4), ולכן אינה ספורדית). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890.

בניית חבורות מתיו[עריכת קוד מקור | עריכה]

החבורה \ M_{10} היא תת-חבורה מאינדקס 2 של \ PGL_2(\mathbb{F}_9)\cdot \langle \sigma \rangle , כאשר \ \sigma הוא האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי של השדה (שתי האחרות הן \ \operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_9) ו- \ \operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_9)\cdot \langle{\sigma}\rangle), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי \ \mathbb{F}_9\cup \{\infty\}. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל-\ M_{10} את התמורה \ (\omega \infty)(\lambda \mapsto \pi^2 \lambda+\pi \sigma(\lambda)), כאשר \ \pi יוצר של השדה מסדר 9, המקיים \ \pi^2+\pi=1, מתקבלת החבורה \ M_{11}, שפעולתה על \ \mathbb{F}_9\cup \{\infty,\omega\} היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר \ S(4,5,11), שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה \ (\omega\Omega)\circ\sigma, מתקבלת החבורה \ M_{12}, שפעולתה על \ \mathbb{F}_9\cup \{\infty,\omega,\Omega\} היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר \ S(5,6,12), היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה \ PSL_3(\mathbb{F}_4) פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת \ M_{22}. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר \ S(3,6,22). החבורה \ M_{22} מוכלת בחבורה \ M_{23} הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא \ M_{22} (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של \ S(4,7,23); ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים \ M_{24} של המערכת \ S(5,8,24) פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-\ M_{23}.