משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

החבורות הפשוטות הסופיות
מידע כללי
תחום	תורת החבורות
ניסוח	כל חבורה פשוטה סופית היא חבורה ציקלית או חבורת האלטרציות או חבורה מטיפוס לי או חבורה ספורדית
היסטוריה
הוכח על ידי	מתמטיקאים רבים, ביניהם: דניאל גורנשטיין, מיכאל אשבכר, ריצ'רד ליונס וסטפן סמית'
תאריך הוכחה	2004
הקשר
מכליל את	משפט הלדר, משפט ברנסייד, משפט פייט-תומפסון
כלים בהוכחה	משפט בראואר-פאולר משפט פייט-תומפסון תורת הקרקטרים וקרקטרים מודולריים. משפט פיטינג, חבורת פיטינג (המוכללת), משפט בנדר בניית חבורות פשוטות מטיפוס לי - תורת החבורות האלגבריות הוכחה באמצעות מחשב
משמש ב	משפטים רבים על חבורות פשוטות סופיות, ביניהם: השערת אורה נוצרות של כל חבורה פשוטה על ידי 2 איברים השערת שרייר מיון של חבורות 2-טרנזיטיביות השערת פרובניוס
השפעה	מהווה דוגמה ייחודית להוכחה מורכבת וסבוכה במיוחד מאפשר הוכחה על ידי בדיקת מקרים למשפטים על חבורות סופיות פשוטות

משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הוא משפט מתמטי הקובע כי כל חבורה פשוטה סופית נמצאת באחת מ-4 הקטגוריות המתוארות למטה. עריכת רשימה מלאה של כל החבורות הפשוטות הסופיות עד כדי איזומורפיזם. החבורות הפשוטות הן אבני בניין של החבורות סופיות, בצורה שדומה לאיך שמספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים הטבעיים. משפט ז'ורדן-הלדר מספק דרך יותר ברורה להסביר איך החבורות הפשוטות הן אבני בניין.

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על הוכחת המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

ההוכחה נעזרת בכלים שפותחו בתורת החבורות מאז לידתה, אולם הצעד הראשון בהוכחה נחשב הפרסום של משפט פייט-תומפסון ב-1963, הקובע שאין חבורות פשוטות לא-אבליות סופיות מסדר אי-זוגי. הוכחת המשפט, כ-250 עמודים עמוסים בתורת ההצגות, הדגימה לראשונה את נחיצותן של הוכחות מורכבות בתחום המיון, ואת יעילותם של הכלים הקלאסיים בטיפול בבעיות כאלה.

במתמטיקה, שבה העבודה נעשית לרוב על ידי יחידים או בצוותים קטנים, משפט המיון הוא דוגמה ייחודית ל"מדע גדול", מבנה פעולה שכיח במדעים הניסויים, שבו משתפים פעולה מדענים רבים להשגת מטרה משותפת. בשנות השבעים רוכז המאמץ על ידי דניאל גורנשטיין, שהציע חלוקת עבודה ומינה חוקרים לעבוד על חלקים מסוימים במשפט. גורנשטיין הכריז בפומבי על סיום ההוכחה ב-1983, אף על פי שבפועל נותרו באותה עת כמה פערים (המשמעותי שביניהם, מיון החבורות מטיפוס quasithin, נסגר רק ב-2004 ). פערים אלה, ואף מורכבותה יוצאת הדופן של ההוכחה גרמה לכך שרבים, ובהם ז'אן-פייר סר, פקפקו בשלמותו של המשפט. חוסר שביעות הרצון הוליד את פרויקט "הדור השני" שמטרתו לכתוב את ההוכחה מחדש, בסדרה של 11 ספרים. בתוכנית זו מבקשים לנצל יתרונות שלא עמדו לרשות מפתחי ההוכחה המקורית, כגון הניסוח המדויק של התוצאה שאותה מבקשים להוכיח.

באמצעות משפט המיון, אפשר לאשר תכונות של חבורות פשוטות על ידי בדיקה של כל המקרים. לדוגמה, הבדיקה מראה שכל חבורה פשוטה סופית נוצרת על ידי שני איברים, למרות שלא ידועה דרך ישירה להוכיח טענה זו.

המיון

משפט המיון קובע שכל חבורה סופית שאין לה תת חבורות נורמליות שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:

• החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
• חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
• חבורות פשוטות מטיפוס לי. חבורות אלה כוללות את "החבורות הקלאסיות", שהן חבורות מטריצות, את חמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
• רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

החבורות הספורדיות

עשרים ושש החבורות הספורדיות הן אלו שלא מופיעות באופן טבעי במשפחות הגדולות של חבורות פשוטות סופיות. חמש הראשונות מבין אלה הן חבורות מתיו, שהתגלו בשנות השישים של המאה ה-19, ואילו 21 האחרות התגלו בין השנים 1965 ו-1975. במקרים רבים, ה"גילוי" קדם ל"בניה": ראשית התברר שהנחות מסוימות הן חזקות עד-כדי כך שאם אפשר למלא את כולן, יש רק חבורה אחת המתאימה להן, ורק אז הוכיחו שחבורה כזו אכן קיימת.

להלן רשימת החבורות, הקרויות בדרך-כלל על-שם האדם שגילה אותן:

• חמש חבורות מתיו, $\ M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}$
• חבורות ינקו, $\ J_{1},J_{2},J_{3},J_{4}$
• חבורות קונוויי $\ Co_{1},Co_{2},Co_{3}$הקשורות לסריג ליץ' מממד 24;
• חבורות פישר $\ Fi_{22},Fi_{23},Fi_{24}$
• חבורת היגמן-סימס $\ HS$
• חבורת מקללין $\ McL$
• חבורת הלד $\ He$
• חבורת רודווליס $\ Ru$
• חבורת סוזוקי $\ Suz$
• חבורת או'נאן $\ O'N$
• חבורת הראדה-נורטון $\ HN$
• חבורת ליונס $\ Ly$
• חבורת תומפסון $\ Th$
• המפלצת הקטנה
• חבורת פישר-גרייס, הקרויה גם המפלצת

"המפלצת", בת כ-$\ 8\cdot 10^{53}$איברים, היא הגדולה מבין החבורות הספורדיות, ו-20 מהן נמצאות בתוכה כתת-חבורות; שש יוצאות הדופן הן $\ J_{1},J_{3},J_{4},O'N,Ru,Ly$.

אסטרטגיית המיון

האסטרטגיה הכללית

הרעיון הבסיסי באסטרטגיית המיון הוא ללמוד את החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאיננה ברשימה - בניסיון להוכיח, בסופו של דבר, שחבורה כזו אינה קיימת.

במילים אחרות, מוכיחים למעשה את המשפט הבא:

משפט: תהי $G$ חבורה פשוטה כך שכל תת-מנה פשוטה שלה (שאיננה $G$ עצמה) היא אחת החבורות הפשוטות במיון. אז גם $G$ היא אחת החבורות הפשוטות במיון.

קל להראות שמשפט זה גורר את משפט המיון.

תפקידם של מרכזים

ניתוח כל תתי המנות של חבורה אינו מעשי. לכן מצמצמים את תשומת הלב לחלק מתתי-המנות. בחלק גדול מההוכחה די להתמקד בתתי-מנות שהם גורמי סדרת ההרכב של מרכזים.

כך שבמקרים רבים מוכיחים את המשפט הבא:

משפט: תהי $G$ חבורה פשוטה כך שכל גורם בסדרת ההרכב של מרכז של איבר לא טריוויאלי בה הוא אחת החבורות הפשוטות במיון. אז גם $G$ היא אחת החבורות הפשוטות במיון.

מנקודת מבט זו, השלב הראשון בהוכחה הוא מיון החבורות הפשוטות שהמרכז של כל איבר לא טריוויאלי בהן הוא אבלי. חבורות כאלה נקראות חבורות CA. חבורות אלו מויונו על ידי בראואר, סוזוקי וואל בשנת 1958.

האסטרטגיה של בראואר

גם חקר כל המרכזים של איברים בחבורה אינו פרקטי בדרך כלל, ולכן ב-1955 בראואר הציע להתרכז במרכזים של אינוולוציות (לא טריוויאליות) - זאת אומרת איברים מסדר 2 בחבורה. הבעיה הראשונה שגישה זו מציבה היא שלא ברור שאיברים כאלה קיימים.

קיומן של אינוולוציות (בחבורות פשוטות לא ציקליות) מובטח על ידי המשפט הבא ששוער על ידי ויליאם ברנסייד ב-1911:

משפט (פייט-תומפסון, 1963): כל חבורה פשוטה מסדר אי-זוגי היא ציקלית.

קל להסיק ממשפט זה (באמצעות משפט קושי) שלכל חבורה פשוטה לא ציקלית יש אינוולוציה לא טריוויאלית. לכן, כדי להוכיח את משפט המיון, די להוכיח את המשפט הבא:

משפט: תהי $G$ חבורה פשוטה ואינוולוציה לא טריוויאלית $x\in G$ בתוכה. נניח שכל גורם בסדרת ההרכב של מרכז של $x$ הוא אחת החבורות הפשוטות במיון. אז גם $G$ היא אחת החבורות הפשוטות במיון.

התקווה של בראואר להוכיח משפט זה מבוססת על המשפט הבא

משפט (בראואר-פאולר, 1955): בהינתן חבורה סופית $H$ קיימות מספר סופי של חבורות $G$ כך שקיימת אינוולוציה $x\in G$ שהמרכז שלה הוא $H$.

בדיעבד, נובע ממשפט המיון, שמספר סופי זה הוא לכל היותר 3. ניתן לחשוב על האסטרטגיה של בראואר בתור האלגוריתם הבא:

• רצים על כל הקבוצות הסופיות (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
• עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות שגורמי סדרת ההרכב שלהן זו הקבוצה הנתונה. זה מעבר סופי, שניתן לבצע אלגוריתמית אבל עלול להיות מאוד מורכב.
• עבור כל חבורה $H$ כזאת, רצים על כל החבורות הפשוטות $G$ כך ש-$H$ היא מרכז של אינוולוציה ב-$G$. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
• עבור כל חבורה $G$ מוודאים ש-$G$ היא אחת החבורות המופיעות במיון.

אלגוריתם זה אינו פרקטי כשלעצמו, אך הוא מהווה את ההשראה להוכחת משפט המיון.

חבורות מקומיות

למרות האמור מעלה, הוכחת משפט המיון לא מתבססת על מרכזים של אינוולוציות בלבד ואף לא על מרכזים באופן כללי, אלא על מחלקה רחבה יותר של תת-חבורות הנקראות חבורות מקומיות.

הגדרה: תת-חבורה מקומית של חבורה $G$ היא מנרמל של תת-חבורת $p$ לא טריוויאלית ב-$G$.

בהתאם, משפט המיון נובע מהמשפט הבא:

משפט: תהי $G$ חבורה פשוטה שכל גורם בסדרת ההרכב של כל תת-חבורה מקומית שלה הוא אחת החבורות הפשוטות במיון. אז גם $G$ היא אחת החבורות הפשוטות במיון.

תפקידה של חבורת פיטינג המוכללת

ניתוח סדרת ההרכב של חבורה נתונה הוא משימה קשה בדרך כלל. השאלה ההפוכה: מה הם כל החבורות בעלות גורמי סדרת הרכב נתונים קשה עוד יותר. תת-חבורת פיטינג המוכללת מאפשרת גרסה מקלה של שאלות אלו שעדיין מספקת מידע רב על החבורה. תת-חבורת פיטינג המוכללת של חבורה סופית $G$ היא תת-חבורה קנונית של $G$ המתקבלת ממכפלה של 2 תתי-חבורות:

• תת-חבורת פיטינג - זוהי תת-החבורה הנורמלית הנילפוטנטית המקסימלית ב- $G$.
• השכבה -זוהי תת-החבורה הנורמלית הפשוטה למחצה המקסימלית ב- $G$.

החשיבות של תת-חבורת פיטינג המוכללת נובעת מהמשפט הבא:

משפט (בנדר, 1970): המְרַכֵּז של חבורת פיטינג המוכללת של $G$ שווה למֶרְכָּז של $G$.

מכאן, קל להסיק שניתן לשכן את $G$ מודולו המֶרְכָּז שלה בחבורת האוטומורפיזמים של חבורת פיטינג המוכללת שלה. כך שאפשר לומר שניתן לתאר את $G$ על ידי חבורת פיטינג המוכללת שלה.

נשים לב שחבורת פיטינג המוכללת של $G$ היא הרחבה מרכזית חוזרת של השכבה של $G$ וזו היא חבורה פשוטה למחצה. קל למדי לתאר חבורות פשוטות למחצה בהינתן גורמי סדרת ההכב שלהן: לשם כך יש לחשב את כופלי שור של גורמים אלו (זו משימה פשוטה יחסית עבור כל החבורות הפשוטות המופעות במיון), וכך לקבל את הכיסויים האונברסליים של הגורמים. לאחר מכן יש להכפיל את כל הגורמים ולקבל חבורה ${\tilde {K}}$. חבורות פשוטות למחצה עם גורמי סדרת ההרכב הנתונים הן מנות של ${\tilde {K}}$ לפי תתי-חבורות מרכזיות שלה.

לכן, במקרים רבים מחליפים את סדרות ההרכב באסטרטגיות המתוארות למעלה, בסדרות ההרכב של חבורת פיטינג המוכללות של החבורות הנדונות. עד כדי גורמים ציקליים, אלו הן סדרות ההרכב של השכבה של החבורות הנדונות.

בהתאם, ניתן להסיק את משפט המיון מהמשפט הבא:

משפט: תהי $G$ חבורה פשוטה כך שכל מנה פשוטה של השכבה של כל תת-חבורה מקומית שלה היא אחת החבורות הפשוטות במיון. אז גם $G$ היא אחת החבורות הפשוטות במיון.

כמו כן, משפט בנדר, מאפשר לעדן את האסטרטגיה של בראואר באופן הבא:

• רצים על כל הקבוצות הסופיות $X$ (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
• עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות הפשוטות למחצה שהמנות הפשוטות שלהן הן החבורות הלא אבליות ב-$X$. זה מעבר סופי, שניתן לבצע בקלות יחסית, שכן הוא דורש רק ידע של כופלי שור של החבורות הלא אבליות ב-$X$.
• עבור כל חבורה $H$ כזאת, רצים על כל ההרחבות המרכזיות החוזרות שלה על ידי החבורות האבליות $K$ ב - $X$.
• עבור כל חבורה $K$ כזאת, רצים על כל החבורות $L$ כך ש-$K$ היא חבורת פיטינג המוכללת של $L$. לפי משפט בנדר, מעבר זה הוא סופי.
• עבור כל חבורה $L$ כזאת, רצים על כל החבורות הפשוטות $G$ כך ש-$L$ היא מרכז של אינוולוציה ב-$G$. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
• עבור כל חבורה $G$ מוודאים ש-$G$ היא אחת החבורות המופיעות במיון.

גם אלגוריתם זה אינו פרקטי, אך הוא מקרב טוב יותר את הוכחת משפט המיון. בדיעבד, הקבוצות $X$ שעבורן הריצה לא ריקה הן בדרך כלל קטנות למדי.

תפקידה של תורת הקרקטרים

בשלהי המאה ה-19 הגדיר פרובניוס את המושג קרקטר של חבורה סופית $G$. אלו הן פונקציות מסוימות על החבורה הסופית עם ערכים בשדה המרוכבים. מנקודת מבט מודרנית אלו הם הקרקטרים של הצגות בלתי פריקות של $G$. עם זאת, מושג ההצגה הופיע בשלב מאוחר יותר ממושג הקרקטר.

במהלך המאה ה-20, פיתח בראואר אנלוג של תורת הקרקטרים עבור הצגות במרחבים מעל הסגור אלגברי של שדה סופי. תורה זו נקראת תורת הקרקטרים המודולרית.

הן לתורת הקרקטרים והן לגרסתה המודולרית יש תפקיד מכריע ברבות מטענות הביניים בהוכחת משפט המיון.

האסטרטגיה בפועל

אסטרטגיית המיון מבוססת על כל הרעיונות המתוארים מעלה ועוד רבים אחרים.

לצורך ההוכחה, מחלקים את החבורות לשתי מחלקות, בעלות "טיפוס זוגי" ו"טיפוס אי-זוגי", וממיינים כל מחלקה בפני עצמה. המקרה האי-זוגי קל יותר (והוא תופס רק 3 כרכים בהוכחת הדור השני), משום שבו אפשר למיין את החבורות על-פי גרסה מתאימה של "דרגת לי", המוגדרת עבור חבורות אלגבריות באמצעות טורוסים, שהם מכפלת עותקים של החבורה הכפלית של שדה הבסיס. במקרה הזוגי, עלולים הטורוסים שלא לספק שום מידע (החבורה הכפלית של השדה מסדר 2 היא טריוויאלית). במקום "דרגת לי" המוגדרת עבור חבורות אלגבריות, משתמשים בפרמטר $\ e(G)$, השווה לדרגה המקסימלית של תת-חבורה אלמנטרית אבלית מאקספוננט ראשוני של נורמליזטור של חבורת 2-סילו של G.

חבורות שבהן הפרמטר קטן או שווה ל-2 נקראות "דקות למחצה". המיון של חבורות דקות למחצה הוכרז (על ידי Geoff Mason), אבל לא פורסם בזמן הוכחת הדור הראשון. מיכאל אשבכר, אחד החוקרים המובילים בפרויקט, מצא פער בהוכחה זו, השלים אותו (בעזרת סטיב סמית') בהוכחה שאורכה כ- 1200 עמודים, ופרסם אותה בראשית שנות האלפיים.

הוכחת הדור השני מבוססת על חלוקה שונה במעט למקרים "זוגי" ו"אי-זוגי" מזו שהייתה מקובלת בדור הראשון. מתנהל גם פרויקט נוסף של שכתוב ההוכחה המקורית, תוך שמירה על אותה חלוקה למקרים.

היסטוריה

התוכנית של גורנשטיין

בשנת 1972 הכריז גורנשטיין על תוכנית להשלמת סיווג החבורות הפשוטות הסופיות, שהורכבה מ־16 צעדים:

1. חבורות מדרגת־2 נמוכה. עבודה זו נעשתה למעשה בידי גורנשטיין והראדה, שסיווגו את החבורות שדרגת ה־2 הסקשונלית שלהן לכל היותר 4. רוב המקרים של דרגת־2 לכל היותר 2 כבר נפתרו כשגורנשטיין הכריז על התוכנית.
2. פשטות למחצה של ה-2- שכבה של מרכז של אינוולוציה בחבורה פשוטה.
3. צורה סטנדרטית במאפיין אי־זוגי
4. סיווג חבורות מטיפוס אי־זוגי. הבעיה היא להראות שאם לחבורה יש מרכז של אינוולוציה ב"צורה סטנדרטית", אז היא חבורה מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט האינוולוציה הקלאסית של אשבכר.
5. צורה קוואזי־סטנדרטית
6. אינוולוציות מרכזיות
7. סיווג חבורות האלטרציות
8. סיווג חלק מהחבורות הספורדיות
9. חבורות דקות; החבורות דקות סופיות הפשוטות, אלו שדרגת ה־p־הלוקלית־2 שלהן לכל היותר 1 עבור מספרים ראשוניים אי־זוגיים p, סווגו בידי אשבכר ב־1978.
10. חבורות עם תת־חבורה p־משוכנת־חזק עבור p אי־זוגי
11. הוכחת משפט ה-signalizer functor. בוצע על ידי מקברייד ב־1982.
12. מיון חבורות מטיפוס מאפיין p. אלו הן החבורות עם תת־חבורה 2-לוקלית שהיא p־משוכנת־חזק, עבור p אי־זוגי. טופל על-ידי אשבכר.
13. מיון חבורות כמעט־דקות. חבורה כמעט־דקה היא חבורה שתת־החבורות הלוקליות־2 שלהן מדרגת־p לכל היותר 2 לכל p אי־זוגי. הושלם על-ידי אשבכר וסמית ב־2004.
14. חבורות מדרגת־3 לוקלית ודרגה נמוכה 2. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות של אשבכר עבור חבורות עם e(G)=3.
15. מרכזי איברי־3 בצורת סטנדרטית. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות.
16. סיווג החבורות הפשוטות מטיפוס מאפיין 2. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט גילמן–גרייס.

ציר הזמן של ההוכחה

חלק ניכר מהפריטים בטבלה שלהלן נלקחו מתוך (Solomon 2001). התאריך המופיע הוא לרוב תאריך הפרסום של ההוכחה המלאה של התוצאה, לעיתים חלפו כמה שנים לאחר ההוכחה או ההכרזה הראשונה עליה, ולכן חלק מן הפריטים מופיעים בסדר "שגוי".

השורות בהן מופיעות התפתחויות חשובות מודגש ברקע צהוב.

תאריך	התפתחות
1832	גלואה מגדיר את המושג תת-חבורה נורמלית ומוצא את החבורות הפשוטות An (n ≥ 5) ואת PSL2(Fp) (p ≥ 5)
1854	קיילי מגדיר חבורות אבסטרקטיות
1861	מתיו מתאר את שתי חבורות מתיו הראשונות M11, M12, החבורות הפשוטות הספורדיות הראשונות, ומכריז על קיומה של M24.
1870	ז'ורדן מונה כמה חבורות פשוטות: חבורת האלטרציות והחבורות הליניאריות הפרויקטיביות המיוחדות, ומדגיש את חשיבות החבורות הפשוטות.
1872	סילו מוכיח את משפטי סילו
1873	מתיו מציג שלוש חבורות מתיו נוספות M22, M23, M24.
1889	הלדר מוכיח את הגרסה המודרנית של משפט ז'ורדן הלדר, ובכך מדגיש את החשיבות במויון החבורות הפשוטות.
1892	הלדר מוכיח שהסדר של כל חבורה פשוטה סופית לא־אבלית חייב להיות מכפלה של לפחות ארבעה ראשוניים (לא בהכרח שונים), ומבקש לסווג את החבורות הפשוטות הסופיות.
1893	קול מסווג את החבורות הפשוטות עד סדר 660
1896	פרובניוס וברנסייד מתחילים בחקר תורת הקרקטרים של חבורות סופיות
1899	ברנסייד מסווג את החבורות הפשוטות שהמְרַכֵּז של כל אינוולוציה בהן הוא חבורת 2 אבלית אלמנטרית לא־טריוויאלית
1901	פרובניוס מוכיח שלחבורת פרובניוס יש גרעין פרובניוס, ולכן בפרט איננה חבורה פשוטה
1901	דיקסון מגדיר חבורות קלאסיות מעל שדות סופיים שרירותיים, וחבורות יוצאות דופן מטיפוס G2 מעל שדות במאפיין אי־זוגי
1901	דיקסון מציג את החבורות הפשוטות הסופיות היוצאות דופן מטיפוס E6
1911	ברנסייד משער שכל חבורה פשוטה סופית לא־אבלית היא מסדר זוגי
1928	הול מוכיח את קיומן של תת־חבורות הול בחבורות פתירות
1933	הול מתחיל את מחקרו בחבורות p
1935	בראואר מתחיל את חקר תורת ההצגות המודולרית
1936	זסנהאוס מסווג חבורות תמורה סופיות שהן 3־טרנזיטיביות באופן הדוק
1938	פיטינג מציג את חבורת פיטינג ומוכיח את משפט פיטינג, שלפיו עבור חבורות פתירות חבורת פיטינג מכילה את מֵרָכּזה
1954	בראואר מסווג חבורות פשוטות שבהן המְרַכֵּז של אינוולוציה הוא GL2(Fq)
1955	משפט בראואר–פאולר מראה שמספר החבורות הפשוטות הסופיות עם מְרַכֵּז נתון של אינוולוציה הוא סופי, ומציע אסטרטגיית סיווג באמצעות מרכזי אינוולוציות
1955	שבאלי מציג את חבורות שבאלי, ובפרט חבורות פשוטות יוצאות דופן מטיפוס F4, E7, ו־E8
1956	משפט הול–היגמן מתאר את האפשרויות עבור פולינום מינימלי של איבר מסדר חזקה של ראשוני בהצגה של חבורה p־פתירה
1957	סוזוקי מראה שכל חבורת CA סופית פשוטה מסדר אי־זוגי היא חבורה ציקלית
1958	משפט בראואר–סוזוקי–ואל מאפיין את החבורות הליניאריות הפרויקטיביות המיוחדות מדרגה 1, ומסווג את חבורות ה־CA הפשוטות
1959	שטיינברג מציג את חבורות שטיינברג, ומגדיר חבורות פשוטות סופיות חדשות מטיפוסים 3D4 ו־2E6 (האחרונה נמצאה גם על ידי טיץ בערך באותו הזמן)
1959	משפט בראואר–סוזוקי על חבורות עם תת־חבורות 2- סילו קווטרניוניות מוכללות מראה בפרט שאף אחת מהן אינה פשוטה
1960	וולתר פייט, מרשל הול וג'ון תומפסון מראים שכל חבורת CN סופית פשוטה מסדר אי-זוגי היא ציקלית
1960	סוזוקי מציג את חבורות סוזוקי מטיפוס 2B2
1961	רי מציג את חבורות רי מטיפוסים 2F4 ו־2G2
1963	פייט ותומפסון מוכיחים את משפט הסדר האי־זוגי
1964	טיץ מציג זוגות BN לחבורות מטיפוס לי ומוצא את חבורת טיץ - האחרונה מבין החבורות הפשוטות מטיפוס לי
1965	משפט גורנשטיין–וולטר מסווג חבורות עם תת־חבורת סילו 2 דיהדרלית
1966	גלוברמן מוכיח את משפט Z*
1966	יאנקו מציג את חבורת יאנקו J1, החבורה הספורדית הראשונה שהתגלתה זה כמאה שנה
1968	גלוברמן מוכיח את משפט ZJ
1968	היגמן וסימס מציגים את חבורת היגמן–סימס
1968	קונוויי מציג את חבורות קונוויי
1969	משפט וולטר מסווג חבורות עם תת־חבורות סילו 2 אבליות
1969	הצגת חבורת סוזוקי הספורדית, חבורת יאנקו J2, חבורת יאנקו J3, חבורת מקלפלין, וחבורת הלד
1969	גורנשטיין מגדיר signalizer functor על בסיס רעיונותיו של תומפסון
1970	מקוויליאמס מראה שחבורות־2 ללא תת־חבורה אבלית נורמלית מדרגה 3 הן בעלות מדרגת־2 סקשונלית לכל היותר 4. (החבורות הפשוטות עם תת־חבורות סילו המקיימות תנאי זה סווגו מאוחר יותר על ידי גורנשטיין והראדה.)
1970	בנדר מציג את חבורת פיטינג המוכללת ומוכיח שחבורת פיטינג המוכללת מכילה את מֵרָכּזה
1971	פישר מציג את שלוש חבורות פישר
1971	תומפסון מסווג זוגות ריבועיים
1971	בנדר מסווג חבורות עם תת־חבורה משוכנת חזק
1972	גורנשטיין מציע תוכנית לסיווג החבורות הפשוטות הסופיות המורכבת מ־16 צעדים; הסיווג הסופי עוקב אחרי התוכנית באופן הדוק למדי
1972	ליונס מציג את חבורת ליונס
1973	רודבליס מציג את חבורת רודבליס
1973	פישר מגלה את חבורת המפלצת הקטנה (לא פורסם), שבעזרתה, יחד עם גרייס הוא מגלה את חבורת המפלצת, שממנה נובעים גם חבורת תומפסון וחבורת הראדה–נורטון (שנמצאה גם בדרך שונה על ידי הראדה)
1974	תומפסון מסווג חבורות N, חבורות שכל תת־חבורה לוקלית בהן פתירה
1974	משפט גורנשטיין–הראדה מסווג את החבורות הפשוטות מדרגה 2-סקשונלית לכל היותר 4, ומחלק את יתר החבורות הפשוטות הסופיות לטיפוס רכיב ולטיפוס מאפיין 2
1974	טיץ מראה שחבורות עם זוג BN מדרגה לפחות 3 הן חבורות מטיפוס לי
1974	אשבכר מסווג חבורות עם ליבה 2־יוצרת נאותה
1975	גורנשטיין וולטר מוכיחים את משפט איזון L
1976	גלוברמן מוכיח את משפט signalizer functor הפתיר
1976	אשבכר מוכיח את משפט הרכיב, שמראה בקירוב שחבורות מטיפוס אי־זוגי המקיימות תנאים מסוימים מכילות רכיב בצורה סטנדרטית. חבורות עם רכיב בצורה סטנדרטית סווגו באוסף רחב של מאמרים
1976	אונן מציג את חבורת אונן
1976	ינקו מציג את חבורת ינקו J4, החבורה הספורדית האחרונה שהתגלתה, ובכך למעשה משלים את הבניה של כל החבורות הפשוטות הסופיות
1977	אשבכר מאפיין את חבורות מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי במשפט האינוולוציות הקלאסי. לאחר משפט זה, אשר במובן מסוים מתמודד עם "רוב" החבורות הפשוטות, התגבשה התחושה שסיום הסיווג מתקרב
1978	אשבכר מסווג את החבורות הדקות, שהן בעיקר חבורות מדרגה 1 מטיפוס לי מעל שדות במאפיין זוגי
1981	בומביירי משתמש בתורת אלימינציה להשלמת עבודתו של תומפסון באפיון חבורות רי, אחד השלבים הקשים ביותר בסיווג
1982	מקברייד מוכיח את משפט signalizer functor לכל החבורות הסופיות
1983	משפט גילמן–גרייס מסווג חבורות מטיפוס מאפיין 2 מדרגה לפחות 4 עם רכיבים סטנדרטיים, אחד משלושת המקרים במשפט שלוש האפשרויות
1983	אשבכר מוכיח שאף חבורה סופית אינה מקיימת את הנחות המקרה הייחודי, אחד משלושת המקרים במשפט שלוש האפשרויות
1983	גורנשטיין וליונס מוכיחים את משפט שלוש האפשרויות עבור חבורות מטיפוס מאפיין 2 מדרגה לפחות 4, בעוד אשבכר מטפל במדרגה 3. הדבר מחלק את החבורות לשלושה תת־מקרים: המקרה הייחודי, חבורות מטיפוס GF(2), וחבורות עם רכיב סטנדרטי
1983	גורנשטיין מכריז שהסיווג הושלם. ההכרזה לא לחלוטין מצדקת שכן ההוכחה במקרה החבורות הכמעט־דקות עדיין לא הושלמה
1985	קונווי, קרטיס, נורטון, פרקר, וילסון ות'קראי מפרסמים את אטלס החבורות הסופיות עם מידע בסיסי על 93 חבורות פשוטות סופיות
1994	גורנשטיין, ליונס וסולומון מתחילים בפרסום הסיווג המחודש
2004	אשבכר וסמית מפרסמים את עבודתם על חבורות כמעט־דקות (שברובן הן חבורות מטיפוס לי מדרגה לכל היותר 2 מעל שדות במאפיין זוגי), ומשלימים את הפער האחרון שנותר ידוע בסיווג
2008	הראדה וסולומון משלימים פער קטן בסיווג על ידי תיאור חבורות עם רכיב סטנדרטי שהן כיסוי של חבורת מתיו M22, מקרה שדולג בטעות עקב טעות בחישוב כופל שור של M22
2012	גונטייה ועמיתיו מכריזים על גרסה מבוקרת־מחשב של משפט פייט–תומפסון באמצעות מסייע ההוכחות Rocq (אז: Coq).

מקורות

• Bull. American Math. Soc. 43(1), 115–121: review on "The classification of quasithin groups I,II", R. Solomon.
• Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893, ארכיון (PDF) מ-2001-06-15 – article won Levi L. Conant prize for exposition

לקריאה נוספת

• מרכוס דו סוטוי, סימטריה, מסע אל מרחבי התבניות של הטבע, מאנגלית: אוריאל גבעון, ספרי עליית הגג, ידיעות ספרים, 2010

קישורים חיצוניים

• סטיבן אורנס, ‏הקטלוג של היקום כולו, במדור סיינטיפיק אמריקן של מכון דוידסון, 1 באוקטובר 2015
• משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות, באתר MathWorld (באנגלית)
• פוסט של טרי טאו על המשפט.