חבורה פשוטה

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה $G\neq \{e\}$ שאין לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית, כלומר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן $G$ ו-$\{e\}$.

לפי משפט ז'ורדן-הולדר ההצגה של חבורה סופית $G$ על ידי סדרת הרכב היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הושלם ב-1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות

• כל חבורה שהסדר שלה הוא ראשוני היא פשוטה, כי על פי משפט לגראנז' הסדר של תת-חבורה צריך לחלק את הסדר שלה, ורק 1 והמספר עצמו (שיוצרים את התת-חבורות הטריוויאליות) הם כאלה.
• כל חבורה אבלית פשוטה היא החבורה הציקלית מסדר ראשוני.
• בין החבורות הסימטריות $S_{n}$, אם $n<5$ אז $S_{n}$ חבורה פתירה ואינה פשוטה.

לדוגמה עבור $n=4$ קיימת הסדרה הנורמלית $S_{4}\triangleright A_{4}\triangleright V_{4}\triangleright \{e,(1\ 2)(3\ 4)\}\triangleright \{e\}$ כאשר $A_{4}$ חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו-$V_{4}$ חבורת הארבעה של קליין.

מאידך, עבור $n\geq 5$, $A_{n}$ פשוטה.

• חבורות המטריצות $\operatorname {PSL} _{n}(F)$ הן פשוטות, אלא אם $n=2$ והשדה $F$ הוא בן 2 או 3 איברים.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב-3.

מושגים קרובים

אם $G$ חבורה מושלמת (כלומר, $[G,G]=G$) וחבורת המנה $G/Z(G)$ פשוטה, אז החבורה $G$ היא קוואזי-פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה $A$, כל תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים $\operatorname {Aut} (A)$ המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

לדוגמה, כאשר $\operatorname {PSL} _{n}(F)$ פשוטה, החבורה $\operatorname {SL} _{n}(F)$ היא קוואזי-פשוטה, והחבורה $\operatorname {PGL} _{n}(F)$ כמעט פשוטה.

מקורות

• The Finite Simple Groups, R.A.Wilson, Springer, 2009.

קישורים חיצוניים

• חבורה פשוטה, באתר MathWorld (באנגלית)