חוסר זיכרון (הסתברות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, חוסר זיכרון הוא תכונה של משתנה מקרי המתאר תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן. בהסבר אינטואיטיבי, עבור משתנים מקריים חסרי זיכרון, בהינתן מידע על "עברם" הם יתפלגו כמו משתנה מקרי "חדש" מאותו הרגע ואילך ועל כן הוא נקרא חסר זיכרון. שתי ההתפלגוית היחידות שהן חסרות זיכרון: ההתפלגות הגאומטרית הבדידה וההתפלגות המעריכית הרציפה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדוגמה למשתנה בדיד חסר זיכרון נתבונן באירוע מספר הטלות הקוביה עד לקבלת הספרה 6, המתפלג גאומטרית עם p= {1\over 6}. נניח שהטלנו את הקוביה 10 פעמים ולא קיבלנו 6, אזי ההסתברות שנקבל 6 בתור הבא היא זהה בדיוק להסתברות שהיינו מקבלים 6 בהטלה הראשונה וכך גם ההסתברות שלא נקבל 6. כלומר, המידע שעשר ההטלות הקודמות לא הניבו את הספרה 6 לא שינה דבר מבחינת ההתפלגות של המשתנה המקרי.

כדוגמה למשתנה רציף חסר זיכרון נהוג לתת את משך החיים של נורה חשמלית. נהוג למדל את משך הזמן עד לשריפת הנורה כמשתנה מקרי המתפלג לפי התפלגות מעריכית. התפלגות זו הינה חסרת זיכרון ועל כן כל עוד שהנורה לא נשרפה ההסתברות שהנורה תישרף בעוד T זמן תהיה זהה. לדוגמה, אם משך החיים של הנורה הוא 1000 שעות הדלקה, אזי ניתן להניח שהמשתנה המקרי המייצג את מספר שעות ההדלקה עד לשריפת הנורה הוא בעל תוחלת של 1000 שעות והתפלגות מעריכית המתאימה לכך: \lambda^{-1}=1000\,. מכאן נובע שההסתברות שהנורה תישרף בזמן t כלשהו היא:  \,{1\over 1000} e^{-{t\over 1000}}. בשל תכונת חוסר הזיכרון של ההתפלגות המעריכית, אם הנורה לא נשרפה כעבור 1000 שעות הדלקה, ההסתברות שהנורה תחזיק עוד 1000 שעות הדלקה, דהיינו 2000 שעות הדלקה בכללי, זהה בדיוק להסתברות שהנורה תחזיק את 1000 השעות הראשונות בלי להישרף, כלומר: \ \mathbb{P}(X>2000|X>1000)\ =\mathbb{P}(X>1000).

חוסר זיכרון של משתנה מקרי בדיד[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ X משתנה מקרי בדיד שערכיו שייכים לקבוצה: { 0, 1, 2, ... }. אזי ההתפלגות של המשתנה \ X תיקרא חסרת זיכרון אם עבור כל \ m, n בקבוצה { 0, 1, 2, ... } מתקיים:

\Pr(X>m+n \mid X>m)=\Pr(X>n).

כלומר ההסתברות המותנית של האירוע ש- \ X > m+n בהינתן \ X>m שווה להסתברות ש-\ X>n (כאילו ה-\ m הראשונים לא היו). ההתפלגות הבדידה היחידה שהיא גם חסרת זיכרון היא ההתפלגות הגאומטרית:

\ \mathbb{P}(x>n+k|x>n)= {\mathbb{P}(x>n+k)\over \mathbb{P}(x>n)}= {q^{n+k}\over q^n}= q^k= \mathbb{P}(x>k)

משתנה מקרי רציף חסר זיכרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ X משתנה מקרי רציף שערכיו לא-שליליים. אנו נאמר כי ההתפלגות \ X הינה חסרת זיכרון אם לכל שני מספרים לא שליליים \ t, s מתקיים:

\Pr(X>t+s \mid X>t)=\Pr(X>s).\,

ההגדרה דומה להגדרה שהובאה לעיל עבור המשתנה המקרי הדיסקרטי, אלא שכאן \ s, t יכולים להיות כל ערך גדול או שווה לאפס.

התפלגות רציפה חסרת זיכרון היא התפלגות מעריכית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתפלגות הרציפה חסרת הזיכרון היחידה היא ההתפלגות המעריכית, ולכן חוסר זיכרון היא תכונה המאפיינת באופן מלא את ההתפלגות המעריכית. כדי להוכיח זאת יהי:

G(t) = \Pr(X > t).\,

מובן ש-\ G(t) היא פונקציה יורדת. אם נניח כי \ G(t) הוא משתנה חסר זיכרון, כלומר:

\Pr(X > t + s | X > t) = \Pr(X > s)\,

מהגדרת ההסתברות המותנית מתקבל כי:

{\Pr(X > t + s) \over \Pr(X > t)} = \Pr(X > s).

ולכן מתקבל היחס: G(t + s) = G(t) G(s)\, וכן G(t) \, היא פונקציה יורדת. הפונקציה היחידה שעונה על שתי התכונות הללו היא הפונקציה המעריכית בעלת מעריך שלילי, ומכאן שכל התפלגות רציפה שמקיימת את תכונת חוסר הזיכרון היא התפלגות מעריכית.