תורת ההסתברות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המשמש לניתוח כמותי של מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות יצא הצירוף 6/6.

לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עד למאה ה-16 לא ידוע על ניסיונות רציניים לפתח שיטות חישוב בתחום ההסתברות ואין שום הצדקה - ואף לא נעשה ניסיון כזה - להחשיבה כענף מתימטי נפרד. עם זאת ידוע עוד מהתקופה העתיקה על משחקי קובייה ועל הגרלות. מאז ימי הביניים המאוחרים נעשו משחקי הקוביה, יחד עם משחקי הקלפים (שהובאו ככל הנראה סמוך לאותה תקופה מסין), נפוצים יותר ויותר באירופה, ומתמטיקאים נדרשו לעתים לעזור בחישובים הקשורים במשחקי מזל.

קרדנו[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאה ה-16 החל העיסוק השיטתי בהסתברות, בעבודתו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו קרדאנו, שהיה מהמר נלהב. קרדנו ניסה לטפל באחת הבעיות הנפוצות של אז - כיצד לחלק את הכספים במשחק שהופסק באמצעו. הוא היה הראשון, שהבין שצריך להתייחס למספר המשחקים שנשארו לכל אחד כדי לנצח כמפתח החלוקה, ולא למשחקים שכל אחד כבר ניצח, כפי שהוצע לפניו, אך לא הגיע לנוסחה כוללת.

קרדנו פרסם בספרו "Liber de Ludo Aleae" (בלטינית: "ספר אודות משחקי מזל"), מעין 'מדריך למהמר'. היה זה למעשה טיפול שיטתי ראשון בבעיות של הסתברות. בספר הובאו טבלאות להדגים את האפשרויות השונות בזריקת שתיים או שלוש קוביות ואת הסתברותן. למשל, בשלוש קוביות יש שש אפשרויות לשלושה מספרים זהים, 30 אפשרויות לשני מספרים זהים ואחד שונה, בשלושה סידורים שונים - ובסך הכל 90 אפשרויות. 20 אפשרויות לשלושה מספרים שונים זה מזה בשישה סידורים שונים, ובסך הכל 120 אפשרויות, וסך האפשרויות הכללי הוא 216=90+120+6.

קרדנו אף ערך חישוב מורכב בעזרת ממצאיו. תחילה חישב את ההסתברות ל-6 באחת הקוביות שהיא: \ {91 / 216} = 1 - ({5/6})^3 , ואחר כך חישב את הסיכויים בהימור שיצא 6 בכל אחת משלוש זריקות של שלוש קוביות: \ {91}^3 / ({216}^3 - {91}^3) . קרדנו, אשר חיבר בחישוב שלעיל מספר אפשרויות נפרדות לקבלת מספרן המשולב, קבע בעצם את 'כלל החיבור': אם ההסתברות ל-A היא p ול-B היא q, אזי ההסתברות להתרחשות A או B היא p+q. למען השלמות ניתן בספרו ניתוח של משחקים בקוביות דמיוניות שלהן פחות משש פאות. בנוסף, קרדנו ניתח בספרו את המושג 'סיכויים', ומגדירו כיחס שבין מספר האפשרויות לזכות ומספר האפשרויות להפסיד. כמו כן, בהיקף קטן, הוא עסק גם במשחקי קלפים.

בשל פרסומו המאוחר של "Liber de Ludo Aleae" שנדפס רק ב-1663 - מאוחר מכדי להשפיע - לא נחשב קרדנו למייסד תורת ההסתברות, אך גם כך הגיעו תוצאות עבודתו בדרכים אחרות לידיעת המתמטיקאים של הדורות הבאים.

לקיחת k מתוך n עצמים: קרדנו וממשיכיו[עריכת קוד מקור | עריכה]

תוצאה נוספת שקרדנו גילה שייכת לתחום הקומבינטוריקה ונתפרסמה מחוץ לספרו האמור. המדובר במספר האפשרויות לקחת k עצמים מבין n עצמים: לעצם הראשון ישנן n אפשרויות בחירה, לשני ישנן n - 1, לעצם ה-k ישנן n - k + 1 אפשרויות ובסך הכל ישנן (n (n - 1).......(n - k + 1 אפשרויות ללקיחה של k עצמים, שצריך לחלקן במספר המיקומים הפנימיים השונים של k העצמים שנלקחו: k לעצם הראשון - הוא יכול להיות ראשון, שני, שלישי וכו'. k - 1 לשני - הוא יכול להיות בכל מקום פרט לזה של הקודם - וכדומה. קיבלנו: \ {(n(n-1)...(n - k +1))}/{(k(k - 1)...1)}  . למעשה נתגלתה תוצאה זו עוד קודם על ידי לוי בן גרשון (הרלב"ג), במאה ה-14, אך לא נודעה ברבים בזמנה - ממש כמו זו של קרדנו - והקרדיט עבור הגילוי ניתן לבלז פסקל. בשנים 1637-1636 מצא מרן מרסן הכללה לנוסחה זו, כלומר, מספר האפשרויות ללקיחת a עצמים מסוג אחד, b עצמים מסוג שני וכדומה, מתוך n עצמים: \ {(n!) / (a!b!c!..)} . ב-1678 יישם תומאס סטרוד (Strode), אשר טבע את המושג 'פרמוטציה' עבור צירופים בהם ישנה חשיבות לסדר, את נוסחת מרסן על n קוביות, כל אחת בעלת מספר פאות f, עבור תוצאה s, כאשר s<n+f. הוא קבע שמספר האפשרויות לתוצאה s הוא: \ {(s - 1)! / ((n - 1)!(s - n)!)} - הדבר שקול לניסיון לחלק s עצמים הנמצאים בשורה ל-n מחלקות. המדובר למעשה במספר האפשרויות לשים n - 1 מחיצות בין העצמים, כאשר ישנם s - 1 מיקומים אפשריים למחיצות.

לידתה של תורת ההסתברות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקובל לראות את שנת 1654 כתאריך הלידה של תורת ההסתברות. בשנה זו החלה להתנהל תכתובת בין פייר דה פרמה לבין בלז פסקל, ובה עסקו שני המתמטיקאים בבעיות הקשורות למשחקי מזל, כאשר פסקל פתר את הבעיות ושלח את הפתרונות לאישורו של פרמה. חלק מהבעיות כבר פתר קרדנו, כמו אלה העוסקות במשחקי קובייה, או שקרדנו עסק בהן, כמו חלוקת הרווחים במשחק שהופסק. באשר למשחקי קובייה, פסקל ופרמה דנו בבעיות כמו מה ההסתברות שיופיע 6 בארבע זריקות לכל היותר של קובייה אחת, או, שיופיעו 6/6 בשמונה זריקות לכל היותר של שתי קוביות, וכדומה. במהלך ההתכתבות נעשה שימוש שיטתי בכללי החיבור והמכפלה, כלומר אם ההסתברות ל-A היא p ול-B היא q, אזי ההסתברות שיתרחשו A וגם B, היא pq, וההסתברות שיתרחש A או B היא p+q. כן נעשה שימוש ראשון במושג תוחלת - בלשונם 'ערך' - מכפלת ההסתברות לזכייה בערך הזכייה, ובמושג 'קומבינציה' - צירוף בו אין חשיבות לסדר האיברים. ההתכתבות בין פסקל לפרמה פורסמה רק ב-1679 (אחרי פרסומו של הויגנס, ראה להלן).

בעיית חלוקת הרווחים במשחק שניפסק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בבעיה זו נתן פסקל לראשונה את הפתרון הנכון: אם n הוא מספר הניצחונות שצריך להשיג, לשחקן A נותרו להשיג a ניצחונות, כדי להגיע ל-n, ולשחקן B נותרו להשיג b, ישנן \ 2^{a+b-1} אפשרויות שוות הסתברות להמשיך את המשחק. בהתאם לספירה של האפשרויות בהן כל שחקן מנצח (ואפשר גם להיעזר במשולש פסקל שיתואר בהמשך), נקבע היחס לחלוקה. פסקל נתן גם פתרון רקורסיבי לאותה בעיה, דבר שהיווה שימוש ראשון (אף שלא פורסם בעיתו) ברקורסיה לפתרון בעיות בהסתברות: נסמן ב-(e(a,b את ההסתברות לניצחון של שחקן A כאשר חסרים לו a משחקים כדי לנצח, וכאשר לשחקן B חסרים b משחקים כדי לנצח. e(0,b) = 1; e(n,n) = 0.5 אזי: [(e(a,b) = 0.5 [e(a-1,b) + e(a,b-1

פסקל ופרמה דנו באותה בעיה גם עם שלשה שחקנים. ברקורסיה לא היו בעיות בהתאמה, אך בשיטה של מניית האפשרויות שמספרן הוא \ 3^{a+b+c-2} ישנם מקרים בהם שני שחקנים משיגים את מספר הניצחונות הדרוש להם, ואז יש להתחשב בסדר בו השיגו השחקנים את הניצחונות.

משולש פסקל[עריכת קוד מקור | עריכה]

פסקל גילה (כאמור, לא הראשון) את הנוסחה למספר האפשרויות ללקיחת k עצמים מבין n, והיה הראשון לקשרה ל'משולש פסקל'. משולש פסקל הינו:


                                                1              שורה 0
                                               1 1             שורה 1
                                              1 2 1            שורה 2
                                             1 3 3 1           שורה 3
                                            1 4 6 4 1          שורה 4
                                          ...............     .........
         

- ערך כל איבר במשולש הוא סכום שני אילו שמעליו. האיבר ה-k, כאשר ...k=0,1,2, בשורה ה-n, נותן את הפתרון. למשל, ישנן 6 אפשרויות - האיבר השני (השמאלי ביותר הוא כזכור האיבר ה-0) בשורה הרביעית - לקחת שני עצמים מתוך ארבעה. בנוסף לכך, פסקל הוכיח כ-20 משפטים שונים בקשר למשולש זה.

הויגנס[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס. הויגנס פרסם ב-1657 את חיבורו "De Ratiociniis in Ludo Aleae" (בלטינית: "על חישובים במשחקי מזל"), שהווה את הפרסום הראשון בענייני הסתברות (ספרו של קרדנו פורסם כאמור ב-1663). בחיבור זה ישנם כללים בענייני הסתברות, אשר את כולם הציג הויגנס ברקורסיה, בצורה מספרית ולא בצורה כללית. תחילה הציג הויגנס הכללה של נושא התוחלת, אותה גם הגדיר לראשונה: אם ערכו של מאורע A (למשל סכום זכייה) הוא a ומספר האפשרויות שיתרחש הוא p, ערך מאורע B הוא b ומספר האפשרויות שיתרחש q, התוחלת של A ו-B היא (pa + qb) / (q + p). בהמשך דן הויגנס בווריאציות שונות של בעיית המשחק המופסק עם שניים או שלושה שחקנים וכן בווריאציות שונות של אפשרויות במשחקי קובייה. הכלל האחרון שהוצג בחיבורו ייחודי בכך שמדובר במשחק בו אין מגבלה לאורכו, ובו הפגין הויגנס כושר המצאה ופיתח שיטת אנליזה הקרויה על שמו: שחקן A זוכה אם משיג בשתי קוביות תוצאה 7, שחקן B, שגם זורק ראשון, צריך להשיג 6. ההסתברות ל-7 בתור בודד היא 6/36, ההסתברות ל-6 בתור בודד היא 5/36. הויגנס סימן את ההסתברות ש-A יזכה ב-x, אם תורו של B, וב-y, אם תורו של A. כעת, בניתוח של תור בודד, נניח של B, ההסתברות ש-B יזכה היא 5/36 וההסתברות ש-B לא יזכה היא 31/36 = 5/36 - 1, ואז ההסתברות לניצחון A היא y. לכן, ההסתברות ש-A יזכה אם כעת תורו של B היא y(31/36) = x. כעת, נניח שתורו של A לשחק. ההסתברות שיזכה מיד היא 6/36 וההסתברות שלא יזכה מיד היא 30/36 = 6/36 - 1. ההסתברות ש-A ינצח אם כעת תורו היא: x(30/36) + y = 6/36. קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים.

בעיה נוספת שהויגנס מציג דומה לבעיה הקודמת, אלא ש-B זורק ראשון, A זורק פעמיים, B פעמיים וכן הלאה; משחק בו מנצח מי שמוציא כדור אדום, כאשר יש ארבעה כדורים אדומים מתוך 12, ישנם שלושה שחקנים והכדור מוחזר למקום בכל פעם; יש 40 קלפים, 10 מכל סוג, וצריך להוציא ארבעה, כל אחד מסוג אחר וללא החזרה של הקלפים - כולם מהווים העמקה של הרעיונות שהוצגו.

חיבורו היווה אבן יסוד בנושא ההסתברות ותרם רבות לעניין בו על ידי מתמטיקאים רבים - ביניהם גדולי הדור והדור הבא, כמו ברנולי - ולהקניית הגישה המחשבתית לנושא, לא מעט גם בגלל השעשוע שבפתרון הבעיות שהוצגו בו.

בנפרד התייחס הויגנס ל'טבלאות חיים' - טבלאות בהן כמות מסוימת של ילודים מתחילה מגיל אפס ובכל שלב 'נפרדים' חלקם, עד שכולם מסיימים את חייהם. הויגנס התייחס לטבלה כזאת כמין הגרלה בה כל משתתף (ילוד) 'מגריל' כרטיס ובו מספר השנים שנועדו לו - ולמעשה נותן לראשונה פרשנות הסתברותית לטבלה סטטיסטית.

יאקוב ברנולי ו-"ars conjectandi"[עריכת קוד מקור | עריכה]

יאקוב ברנולי כתב ספר רב השפעה בשם "ars conjectandi" (בלטינית: "אמנות הניחוש"), שפורסם ב-1713 לאחר מותו. היה זה ספר היסוד המוקדם ביותר לתורת ההסתברות, המוגדר ככזה וכתחום מתימטי של ממש (קרדנו פרסם רק "מדריך למשחקי מזל", הויגנס פרסם חוברת דקה). לספר היו ארבעה חלקים: הערות מקיפות על ספרו של הויגנס; טיפול יסודי בקומבינטוריקה ותמורות; משחקי מזל מנקודת מבט מתמטית; ויישומים לכלכלה ופוליטיקה. החלק האחרון כלל הוכחה של החוק החלש של המספרים הגדולים עבור משתני ברנולי.

ברנולי סיכם, בחלקו הראשון של הספר, את עבודתו של הויגנס, והכליל אותה בנוסחאות (הויגנס נתן פתרונות מספריים, כאמור) ואת עבודתו של פסקל. ברנולי הציג תאוריה שלמה של קומבינטוריקה (צירופים כאשר הסדר אינו חשוב) ופרמוטציות (יש חשיבות לסדר). ברנולי ציין את כלל המכפלה להסתברות של קיום שניים או יותר מאורעות בלתי תלויים, בכמה ווריאציות: אם ישנם n מאורעות, ולכל מאורע הסתברות P, ההסתברות שיתקיימו כולם היא: \ p^n. אם ההסתברות לאי קיום המאורע היא Q=P - 1, אזי ההסתברות להתקיימות m מאורעות ולאי התקיימות n - m היא: \ p^mq^{n - m}, אם נודעת חשיבות לסדר המאורעות. אם אין חשיבות לסדר, יש להכפיל את התוצאה האמורה במספר האפשרויות ללקיחת m עצמים מתוך n (ר' למעלה).

ברנולי עמד על ההבדל בין מאורעות נפרדים לחלוטין (שני צדדים של מטבע בהטלה, למשל), למאורעות לא נפרדים. למשל, שנים שנידונים למוות, מקבלים רשות לשחק, כל אחד תור בודד בשתי קוביות, המנצח ישוחרר ואם התוצאה זהה - ישוחררו שניהם. כאן לכל נידון הסתברות 7/12 להשתחרר.

בחלקו השני של הספר, ברנולי הציג לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי באינדוקציה שמספר הפרמוטציות של n עצמים הוא !n, ושמספר הפרמוטציות של n עצמים, a מסוג אחד, b מסוג שני, c מסוג שלישי... הוא (נוסחת מרסן) (...!n!/(a!b!c. בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות אם נחלק n עצמים, שמהם ניקח b עצמים, לשתי תת-קבוצות, אחת בת m עצמים, השנייה בת n - m עצמים, מהאחת ניקח a עצמים, ומהשנייה ניקח b - a עצמים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת-הקבוצה האחרת.

כן דן ברנולי בלקיחה עם החזרה. אם ישנם n עצמים, אנו לוקחים m עצמים מתוכם, לכל חפץ מותר להלקח m פעמים, מספר הקומבינציות הוא: \ (n+m - 1)!/(m!(n - 1)!). זאת כיוון שכל אחד מ-m העצמים 'נספר' בתור אחד מ-n המקוריים וגם בתור אחד מ-m העצמים שנלקחו. לקיחת m עצמים מתוך m, אם כן, שקולה להשמת 1 - n מחיצות ב- n+m - 1 מיקומים אפשריים, כאשר ישנן !m אפשרויות לסידורם. כן הראה כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת m עצמים מתוך n הוא \ n^m ומספר הקומבינציות הוא !m. בהמשך, בעזרת טבלאות, הדגים ברנולי שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון. ברנולי חקר, כמו פסקל, את 'משולש פסקל', וחזר, פחות או יותר, על אותן ההוכחות. מחקריו ב'משולש פסקל' הובילוהו גם למספר תוצאות חשובות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. כן פיתח ברנולי פתרון ל'בעיית המשחק המופסק' עבור משחקים התלויים במיומנות, כמו טניס, כלומר ההסתברות לניצחון כל אחד מן הצדדים אינה 0.5. העיקרון של אותו פתרון הנו הרחבה של נוסחת הרקורסיה של פסקל (ר' למעלה).

בהמשך מצא ברנולי נוסחאות לסכומים של פרמוטציות, קישר בין הנוסחאות בהסתברות לביטויים רב איבריים ועוד, בכך סיכם וניסח סופית את כל נושא ההסתברות הקלאסית - של מיקרים שווי הסתברות, שסכומי ההסתברויות שווים ל-1, ושבכל שלב יש מספר סופי של אפשרויות בדידות. כך סוכמה עבודתם של פסקל, פרמה והויגנס.

בעיית המשחק הבלתי מוגבל[עריכת קוד מקור | עריכה]

ברנולי מצא את הנוסחא לבעיית המשחק בעל אורך בלתי מוגבל שהציג הויגנס, ופתר מספר מקרים פרטיים שלה. למשל, שחקנים A ו-B משחקים והמנצח צריך להשיג תוצאה 6 בקוביה בודדת. A זורק פעם, B זורק פעם, A זורק פעמיים, B זורק פעמיים, A זורק 3 פעמים... ההסתברות לא לזכות בכל זריקה היא 5/6 = q, וההסתברות ש-A ינצח בהטלה הראשונה היא לפכך 1/6 = \ 1 - q. באחת משתי ההטלות הבאות: ההסתברות לא לזכות בהטלה הקודמת, שלו ושל B היא \ q^2. ההסתברות לזכות באחת משתי ההטלות היא \ (1-q)^2, והמכפלה היא: \ q^2(1-q)^2. כדי שיזכה באחת משלוש ההטלות הבאות, צריך, בנוסף, לא לזכות בשש הזריקות הקודמות להן (2+2+1+1), של A ושל B, הסתברות של \ {q}^6({1 - q)}^3 . אם נחבר את התוצאה עם זו הקודמת נקבל: \ 1 - q + q^2(1-q)^2 + {q}^6({1 - q)}^3 ... . אפשר להמשיך באותו קו מחשבה גם הלאה, בהטלות נוספות. כך, לאחר פתיחת סוגריים ושינוי קל בסדר האיברים מתקבלת הסדרה: \ 1 - q - {q}^4 - {q}^9...+ {q}^2 + {q}^6 + {q}^{12} + {q}^{20}... , וזו לראשונה בעיה בהסתברות נפתרה באמצעות סדרה אינסופית.

התפתחות תורת ההסתברות לאחר עידן המהפכה המדעית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אברהם דה-מואבר הגדיר את מושג האי-תלות ב-1718. ספרו על תורת הסיכויים (1738) כולל הוכחה למשפט הגבול המרכזי עבור משתני ברנולי. פואסון וגאוס תרמו תרומה חשובה לנושא כשפיתחו את ההתפלגויות הקרויות על שמם. בשנת 1812 פרסם פייר סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי. לאחר ניסיונות מוקדמים של פון מיזס, ביסוס אקסיומטי לתורת ההסתברות ניתן בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.

מושגי יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג בסיסי בתורת ההסתברות הוא מאורע פשוט, שהוא תוצאה אפשרית אחת מתוך כלל התוצאות האפשריות במרחב המדגם. מאורע הוא קבוצה כלשהי של תוצאות (תת-קבוצה מתאימה של מרחב המדגם). בהטלת מטבע בודד מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: "עץ" או "פלי". כל הטלה של מטבע היא מאורע פשוט, שניתן לשייך לו הסתברות. אם נניח שמרחב המדגם הוא סימטרי, נקבל שההסתברות למאורע הפשוט בו המטבע נופל על הצד "עץ" היא בדיוק חצי.

בהטלת קובייה יש שש תוצאות אפשריות (הערכים 1 עד 6 המתקבלים בצד העליון של הקובייה). במקרה זה תוצאות אלה הן מאורעות זרים (כלומר אינם יכולים להתרחש בבת אחת) ושווי הסתברות, בהנחה שהקובייה סימטרית. מאורעות נחשבים כבלתי תלויים אם ההסתברות להתרחשות של כל אחד מהם אינה מושפעת מהעובדה שהאחר כבר קרה. שתי הטלות נפרדות של קובייה, למשל, הן מאורעות בלתי תלויים.

אחת התכונות הבסיסיות של מרחבי הסתברות היא שההסתברות של איחוד מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. תכונה זו מתאימה להנחה האינטואיטיבית שהסיכוי שלפחות אחד משני מאורעות יתרחש הוא סכום הסיכויים שכל אחד מהם יתרחש בנפרד, כל עוד אין ביניהם חפיפה. לדוגמה, בהטלת קובייה סימטרית ההסתברות לכל תוצאה אפשרית היא שישית. למאורע "תתקבל תוצאה זוגית", שהוא איחוד של המאורעות הזרים, שיתקבל 2, 4, או 6, יש הסתברות של חצי - שלוש שישיות.

ההסתברות של חיתוך של מאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות שכל המאורעות הללו יקרו יחדיו, שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: מה ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת? המאורע המשלים למאורע זה הוא שבכל שלוש הזריקות הופיעה התוצאה "פלי". ההסתברות של מאורע זה שווה למכפלת ההסתברויות של התוצאה "פלי" בכל אחת משלוש הזריקות, כלומר ההסתברות של המאורע המשלים היא חצי כפול חצי כפול חצי, שהיא שמינית. לפיכך ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת היא שבע שמיניות.
הסיכויים שהקובייה תיפול על המספר 6, הם 1/6. הסיכוי שבשתי קוביות יתקבל המספר 6 הוא 1/36 והסיכוי שבשלוש קוביות יתקבל 6 הוא 1/216. כלומר, ככל שמספר הקוביות גדל, הסיכוי שכולן יפלו על אותו המספר קטן. לצורך חישוב הסתברויות של מאורעות מורכבים יותר במרחבים בדידים וסימטריים, נעשה שימוש בשיטות קומבינטוריות.

הצגה לא מדויקת של בעיות בהסתברות עלולה להביא לתוצאות פרדוקסליות. דוגמה בולטת לכך היא פרדוקס המעטפות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]