הסתברות מותנית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו \ A, בהינתן שמאורע אחר \ B קרה. הסתברות מותנית נכתבת בתור \ P(A\,|\,B)ונקראת ההסתברות של \ A בהינתן \ B. בהסתברות מותנית אין התייחסות לקשר אפשרי בין שני המאורעות, לא סיבתי ואף לא כרונולוגי.

ניתן לחשב הסתברות מותנית באמצעות הנוסחה:

\ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

אם רק ההסתברות ההפוכה ידועה (\ B בהינתן \ A), ניתן להשתמש בחוק בייס.

כשל לוגי נפוץ הוא לחשוב שהסדר לא משנה וכי הסתברות \ A בהינתן \ B שווה להסתברות \ B בהינתן \ A. נמחיש את ההבדל בעזרת הדוגמה הבאה: \ A הוא המאורע של זכייה בלוטו ואילו \ B הוא המאורע של זכייה בכסף. בהינתן שזכית בלוטו בהכרח זכית בכסף אך אם זכית בכסף לא סביר שזכית בלוטו.

משתנה מקרי מותנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב \ \Omega, ו- \ A \sub \Omega הוא מאורע בעל הסתברות חיובית, אפשר להגדיר את המשתנה המותנה \ X|A, שההסתברויות שלו הן \ P(X=x\,|\,A) = \frac{P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}. המשתנה הזה מתקבל מצמצום ההתפלגות של המשתנה X אל המאורע A, כלומר, משינוי מרחב ההתפלגות על ידי הוספת הנחה ש- A אירע.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי?

פתרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את \ A כמאורע "עבר אדם אכפתי", ואת \ B כמאורע "המכונית לא חולצה". המאורע \ A\cap B הוא "עבר אדם אכפתי, והמכונית לא חולצה". מאורע זה ניתן לפירוק לשני מאורעות משנה: עבר אדם אכפתי שלא מבחין במכונית (הסתברות 1/4, שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהם אינם מבחינים); או - עבר אדם אכפתי שהבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות 1/8, שכן חצי מהאנשים אכפתיים, ורק רבע מהם גם מבחינים במכוניות וגם בעלי כישורים טכניים). שני מאורעות המשנה לא יכולים להתרחש יחד, ולכן ההסתברות של המאורע הכולל (עבר אדם אכפתי והמכונית לא חולצה) היא סכום ההסתברויות:

\ P(A\cap B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}

כדי לחשב את הסתברות המאורע \ B, נחשב ראשית את ההסתברות של המאורע המשלים - אדם שעובר יחלץ את המכונית (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים) - שהיא 1/8=1/2x1/2x1/2. מכאן, ההסתברות שאדם שעובר לא יחלץ את המכונית היא

\ P(B)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

ולכן:

\ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{3}{7}.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]